FONCTION EXPONENTIELLE

Expo-premiere

Exercice 1 Signe d’une expression

Déterminer, en fonction de x, le signe des fonction suivantes :
  1. f définie sur \mathbb R par f(x)=\left(x^2+4\right)e^x.
  2. g définie sur \mathbb R par g(x)=\dfrac{e^{-4x}}{-x^4-7}.
  3. h définie sur \mathbb R par h(x)=\left(1+e^{2x}\right)\left(e^{-3x}+4\right).
  4. i définie sur \mathbb R par i(x)=\left(x^2-x-6\right)e^{x}.

Correction Exercice 1

  1. f définie sur \mathbb R par f(x)=\left(x^2+4\right)e^x. La fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb R. Par conséquent, pour tout réel x on a e^x>0. De plus, pour tout réel x on a x^2+4>0. Ainsi f(x) est strictement positif sur \mathbb R.
  2. g définie sur \mathbb R par g(x)=\dfrac{e^{-4x}}{-x^4-7}. La fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb R. Par conséquent, pour tout réel x on a e^{-4x}>0. De plus, pour tout réel x on a -x^4-7<0. Ainsi g(x) est strictement négatif sur \mathbb R.
  3. h définie sur \mathbb R par h(x)=\left(1+e^{2x}\right)\left(e^{-3x}+4\right). La fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb R. Par conséquent, pour tout réel x on a e^{2x}>0 et e^{-3x}>0. Donc 1+e^{2x} > 0 et e^{-3x}+4 > 0. Ainsi h(x) est strictement positif sur \mathbb R.
  4. i définie sur \mathbb R par i(x)=\left(x^2-x-6\right)e^{x}. La fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb R. Par conséquent, pour tout réel x on a e^x > 0. On étudie donc le signe de x^2-x-6. Il s’agit d’un polynôme du second degré. \Delta=(-1)^2-4\times 1\times (-6)=25 > 0. Il possède deux racines réelles : x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2} =-2 et x_2=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2} =3 Le coefficient principal est a= 1 > 0. Ainsi x^2-x-6 est positif sur ]-\infty;-2]\cup[3;+\infty[ et négatif sur [-2;3]. Par conséquent :
    \bullet~ i(x) > 0 sur ]-\infty;-2[\cup]3;+\infty[;
    \bullet~ i(x) < 0 sur ]-2;3[;
    \bullet~ i(x)=0 si x\in\left\{-2;3\right\}.