Exercices corrigés – Suites

Exercice 1 Les opérations sur les limites de suites

Déterminer les limites des suites suivantes.
  1. La suite $(u_n)$ définie par $u_n=-2n^2+4$ pour tout naturel $n$. Réponse:$\color{red} {-\infty}$


  2. La suite $(v_n)$ définie par $v_n=-5n^2-\sqrt{n}+3$ pour tout naturel $n$.Réponse:$\color{red} {-\infty}$


  3. La suite $(w_n)$ définie par $w_n=\frac{7-\frac{2}{n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}-1}$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 2.Réponse:$\color{red} {-7}$
  4. La suite$(t_n)$ définie par $t_n=\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}$ pour tout naturel $n$ .Réponse:$\color{red} {0}$



  5. La suite $(x_n)$définie par $x_n=\frac{1-0,12^n}{1-n^2}$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 2. Réponse:$\color{red} 0$

  6. La suite $(y_n)$ définie par $y_n=-n^5+3n^2-n+3$ pour tout naturel $n$. Réponse:$\color{red} {- \infty}$

  7. La suite$(z_n)$ définie par $z_n=\frac{-n^2+9}{n^2+7}$ pour tout naturel $n$ .Réponse:$\color{red} {-1}$




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Corrigé

  1. La suite $(u_n)$ définie par $u_n=-2n^2+4$, pour tout $n \in \mathbb N$.
    $\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty}-2=-2$.
    $\lim\limits_{n \to +\infty}(-2n^2)=-\infty $, $($ limite d'un produit $)$ de plus on a $\lim\limits_{n\to +\infty}4=4$.
    On obtient donc finalement $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$, $($ limite d'une somme $)$

  2. $v_n=-5n^2-\sqrt{ n}+3$;
    $\lim\limits_{n \to \infty} n^2=+\infty$. Or $-5 < 0$. Donc $\lim\limits_{n \to \infty}-5n^2=-∞$; $($ limite d'un produit $)$.
    $\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt{n}=+\infty $. Donc $\lim\limits_{n \to \infty}(-\sqrt{n})=-\infty$.
    Finalement $\lim\limits_{n \to \infty} 3=3$.
    On obtient donc $\lim\limits_{n \to \infty}v_n=-\infty$; $($ limite d'une somme $)$

  3. $w_n=\frac{7-\frac{2}{n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}-1}$
    $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2}{n}=0$.
    et $\lim\limits_{n \to \infty}7=7$.
    Donc $\lim\limits_{n \to \infty}(7-\frac{2}{n})=7-0=7$,$($ limite d'une somme $)$.
    De même, on a $\lim\limits_{n \to \infty }( \frac{1}{\sqrt{n}}-1)=0-1=-1$ $($ limite d'une somme $)$

    On obtient donc finalement $\lim\limits_{n \to \infty} w_n=\frac{7}{-1}=-7$ $($ limite d'un quotient $)$.

  4. $t_n=\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}$
    La limite du premier terme de cette somme est $\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt{2n+1}=+\infty$ ,et celle du deuxième terme est $\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt{2n}=+\infty$
    On rencontre donc une forme indéterminée du type "$(+\infty - \infty)$"
    On multiplie et on divise par l'éxpression conjuguée $\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}$ on obtient
    $t_n=\frac{(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n})(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n})}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}} =\frac{2n+1-2n}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}=\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}$.
    On a $\lim\limits_{n \to +\infty }\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}=+\infty$
    et par quotient :$\lim\limits_{n \to +\infty }\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}=0$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty }t_n=0$

  5. $x_n=\frac{1-0,12^n}{1-n^2}$
    $ -1 <0,12 < 1 $, donc $\lim\limits_{n \to +\infty }(0,12^n)=0$.
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty }(1-0,12^n)=1-0=1$.
    Par ailleurs, comme $\lim\limits_{n \to +\infty }n^2=+\infty $, on a $\lim\limits_{n \to +\infty }\left(1-n^2 \right)=-\infty $.
    On obtient finalement par quotient $\lim\limits_{n \to +\infty }x_n=0$.

  6. $y_n=-n^5+3n^2-n+3$, pour tout naturel $n$. $\lim\limits_{n \to +\infty }(-n^5)=-\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty }(3n^5)=+\infty$, c'est une forme indéterminée. On factorise par le terme dominant : $y_n=n^5(-1+\frac{3}{n^3}-\frac{1}{n^4}+\frac{3}{n^5})$ . On a $\lim\limits_{n \to +\infty }n^5=+\infty $
    et $\lim\limits_{n \to +\infty }(-1+\frac{3}{n^3}-\frac{1}{n^4}+\frac{3}{n^5})=-1$. Donc par produit des limites $\lim\limits_{n \to +\infty }y_n=-\infty$


  7. $z_n=\frac{-n^2+9}{n^2+7}$
    On a d'une part $\lim\limits_{n \to +\infty }(-n^2+9)=-\infty$ et d'autre part $\lim\limits_{n \to +\infty }(n^2+7)=+\infty$, ce qui conduit à une forme indéterminée de la forme "$\frac{\infty}{\infty}$".
    On factorise alors les termes "dominants" du quotient $z_n$ et on simplifie.
    $z_n=\frac{-n^2+9}{n^2+2}=\frac{n^2(-1+\frac{9}{n^2} ) }{n^2(1+\frac{7}{n^2} ) }=\frac{-1+\frac{9}{n^2}}{1+\frac{7}{n^2}}$.
    On a donc $\lim\limits_{n \to +\infty } (-1+\frac{9}{n^2})=-1$ et $\lim\limits_{n \to +\infty }(1+\frac{7}{n^2})=1$, donc par quotient $\lim\limits_{n \to +\infty }z_n=-1$

Exercice 2: ( Sens de variations d’une suite à l’aide du signe de u_{n+1}-u_n)

Pour chaque suite définie ci-dessous, conjecturer le sens de variations puis démontrer la conjecture en étudiant le signe de $u_{n+1}−u_n$.
  1. $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel n par $u_n=1+\frac{1}{n}$.
  2. $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel n par $u_n=n^2+3n$.
  3. $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel n par $u_n=\frac{n}{2^n}$.
  4. $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel non nul n par $u_n=\frac{n+2}{n}$
Corrigé
  1. On calcule à la mains les premiers termes de la suite $(u_n)$,
    $u_1=1+\frac{1}{1}=2$
    $u_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5$
    $u_3=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\approx{1.33}$
    $u_4=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=1.2$
    On conjecture que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante
    Démonstration: Le sens de variation de la suite $u_n$ est donné par le signe de $u_{n+1}−u_n$.
    Soit $n \in \mathbb N^*$, $u_{n+1}−u_n=1+\frac{1}{n+1}-\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n(n+1)}$. Pour tout $n \in \mathbb N^*$, $u_{n+1}−u_n < 0$ donc $(u_n)$ est strictement décroissante.

  2. $u_0=0$
    $u_1=1+3\times 1=4$
    $u_2=4+3\times 2=10$
    On conjecture que la suite $(u_n)$ est strictement croissante
    Démonstration:
    Soit $n \in \mathbb N$, $u_{n+1}-u_n=(n+1)^2+3(n+1)-n^2-3n=n^2+2n+1+3n+3-n^2-3n=2n+1$.
    $2n+1 > 0 \iff n > -\frac{1}{2}$. Or $n > 0$ donc la suite $(u_n)est strictement croissante.


  3. $u_0=0$
    $u_1=\frac{1}{2}=0,5$
    $u_2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0.5$
    $u_3=\frac{3}{8}=0,375$
    $u_4=\frac{4}{16}=0,25$
    $u_5=\frac{5}{32}\approx{0,15}$
    On conjecture que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante à partir du rang 2.
    Démonstration:
    Soit $n \in \mathbb N$, $u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}-\frac{n}{2^n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}-\frac{2n}{2\times2^n}=\frac{1-n}{2^{n+1}}$. Comme pour tout $n > 1$, on a $ 1-n < 0$ c'est à dire $u_{n+1}-u_n < 0$, on a alors la suite $(u_n)$ est strictement décroissante à partir du rang 2.
  4. $u_1=3$
    $u_2=\frac{4}{2}=2$
    $u_3=\frac{5}{3} \approx{1,67}$
    $u_4=\frac{6}{4}=\approx{1,5}$
    On conjecture que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
    Démonstration:
    Soit $n \in \mathbb N^*$, $u_{n+1}-u_n=\frac{n+3}{n+1}-\frac{n+2}{n}=\frac{n(n+3)-(n+2)(n+1)}{n(n+1)}=\frac{n^2+3n-(n^2+n+2n+2)}{n{n+1}}=-\frac{2}{n(n+1)}$. Donc $u_{n+1}-u_n < 0$, et pr conséquent $(u_n)$ est strictement décroissante.

Exercice 3 ( Sens de variations d’une suite à l’aide du signe de u_{n+1}-u_n)

Etudier le sens de variation de la suite $( u_n )$, définie par :
$u_0 =5$ et $\forall n \in \mathbb N, u_{n+1} = u_n − n-2$.
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Corrigé
Le sens de variation de la suite (u_n) est déterminé par le signe de $u_{n+1}-u_n$.
Pour tout $ n \in \mathbb N$, on a $u_{n+1}-u_n=u_n-n-2-u_n=-n-2$
Or pour tout $n \in \mathbb N,~ -n-2 < 0$, donc $u_{n+1}-u_n \lt 0$
Conclusion: La suite $(u_n )$ est strictement décroissante.

Exercice 4 ( Sens de variations d’une suite à l’aide de \frac{u_{n+1}}{u_n})

En comparant le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$à 1, étudier le sens de variations des suites.


  1. Pour tout entier n avec $n \geq 1$, $u_n=\frac{3^n}{2n}$.

  2. Pour tout entier n avec $n \geq 1$, $u_n=\frac{5u_n}{n}$ et $u_1=\frac{1}{2}$.


Corrigé
  1. Tous les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement positifs, on peut donc étudier le sens de variations de $(u_n)$ en comparant le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1:
    $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{ \frac{3^{n+1}}{2(n+1)} }{ \frac{3^n}{2n} }
    =\frac{3^{n+1}}{2(n+1)}\times \frac{2n}{3^n}=\frac{3n}{n+1}$$
    Or
    $$ \frac{3n}{n+1} > 1 \iff 3n > n+1 \iff 2n > 1 \iff n > \frac{1}{2}$$
    Comme $n \geq 1$ on a donc $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$. Par conséquent la suite $(u_n)$ est strictement croissante

  2. Tous les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement positifs, on peut donc comparer le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1:
    Soit n $\in \mathbb N^*,~\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{ \frac{5u_n}{n} }{ u_n }=\frac{5}{n}$
    Pour $n \geq 6,~$ $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante à partir du rang 6.

    Exercice 5 ( Sens de variations d’une suite définie par une fonction )

    Les suites ci-dessous sont définies par une relation du type $u_n=f(n)$.
    Dans chaque cas, préciser la fonction $f$, étudier ses variations sur $[0,+\infty[$ et en déduire les variations de la suite.

    1. $u_n=1−\frac{1}{3}n$

    2. $u_n=-n^2+3n−2$
    3. $u_n=\frac{n+1}{n+2}$
    Corrigé

    1. On a $u_n=f(n)$ avec $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=1−\frac{1}{2}n$.
      $f$ est une fonction affine : $x\mapsto ax+b$ avec $a=−\frac{1}{2}$ et $b=1$.
      Comme $a < 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $[0,+\infty[$. Donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

    2. On a $u_n=f(n)$ avec $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=-x^2+3x−2$.
      $f$ est une fonction polynomiale du second degré: $x \mapsto ax^2+bx+c$ avec $a=-2$, $b=3$ et $c=-2$. Comme $a < 0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $[-\frac{b}{2a};+\infty[$, $-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{-2}=\frac{3}{2}$. Donc $(u_n)$ est strictement décroissante à partir du rang 2.
    3. On a $u_n=f(n)$ avec $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\frac{x+1}{x+2}$. $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et $f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$. $f'$ est strictement positive, donc $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$ et par conséquent la suite $u_n$ est strictement croissante.

      Exercice 6 ( Sens de variations d’une suite définie par récurrence )

      On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=-u^2_n+3u_n-2$ et $u_0=1$.


      1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

      2. Conjecturer le sens de variation de la suite (un).
      3. Déterminer le signe du trinôme du second degré : $-x^2+2x-2$.

      4. Démontrer votre conjecture.
        Corrigé
        1. $u_0=1$, $u_1=0$, $u_2=-2$, $u_3=-12$,
        2. On conjecture que la suite $u_n$ est strictement décroissante.
        3. Le discriminant du trinôme $-x^2+2x-2$, est $\Delta=-4< 0$ et le coefficient de $ x^2 $ est $-1 < 0 $, donc $\forall ~x \in \mathbb R, -x^2+2x-2 <0$
        4. $u_{n+1}-u_n=-u^2_n+3u_n-2-u_n=-u^2_n+2u-2$. D'après la question précédente $u_{n+1}-u_n < 0$ et donc on a montré que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

        Exercice 7 ( Suite auxiliaire géométrique )

        On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n,$
        $$ u_{n+1} = 0,9u_{n} + 1,2.$$
        On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 12$.
        1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
        2. En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = 12 - 2 \times 0,9^n$.
        3. Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$.
        Corrigé
        1.Pour tout $n \in \mathbb{N}$,
        \begin{align}
        v_{n+1}& = u_{n+1}-12 \\ & = 0,9u_n+1,2-12\\ & = 0,9 u_n-10,8\\ & = 0,9 \left( u_n-\frac {10,8}{0,9} \right) \\ & = 0,9\left( u_n-12 \right)
        \end{align}
        On a donc d'après la dernière égalité , pour tout $n \in \mathbb{N}, v_{n+1}=0,9v_n$, ce qui montre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $v_0=u_0-12=10-12=-2$. Donc pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n=-2\times 0,9^n$.
        2. On en déduit que $u_n=v_n+12=-2\times 0,9^n+12$.
        3. $\lim\limits_{n \to +\infty}0,9^n=0$, $( $ car $-1 <0.9<1$ $ )$; par produit des limites $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-2\times 0,9^n \right)=0$, finalement $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=12$

        Exercice 8

        Soit la suite numérique $(u_n)$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8u_n +1$.
        1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
        2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$.
        3. Vérifier les deux conjectures établies à la question 1, en justifiant votre réponse.

        Corrigé



        1. On calcule, à la calculatrice, $u_n$ pour les premières valeurs de $n$.
          $\begin{array}{|*{11}{>{\ca}p{0.8cm}|}}
          \hline
          n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 & \dots\\\hline
          u_n &1 &1,8&2,44 &2,95 &3,36 &3,69 &3,95 &4,16 &4,33 & \dots \\\hline
          \end{array}$

          $\begin{array}{|*{11}{>{\ca}p{0.8cm}|}}\hline
          n &\dots &20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\hline
          u_n &\dots &4,95 &4,96 &4,97 &4,976 &4,981 &4,985 &4,988 &4,990 &4,992 \\\hline
          \end{array}$
          La suite $\left(u_n\right)$ semble croissante et semble converger vers 5.

        2. Soit $\mathcal{P_n}$ la propriété $u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$.

          Initialisation : Pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $5 - 4\times 0,8^{0} = 5 - 4 = 1$. Donc la propriété $\mathcal{P_0}$ est vérifiée.
          Hérédité : Soit $n$ un entier naturel quelconque.
          On suppose que la propriété est vraie pour le rang $n$ c'est-à-dire $u_n=5-4\times 0,8^n$ $($ c'est l'hypothèse de récurrence$)$, et on veut démontrer qu'elle est encore vraie pour le rang $n+1$.
          $u_{n+1} = 0,8 u_n +1$. Or, d'après l'hypothèse de récurrence $u_n=5-4\times 0,8^{n}$; donc:
          $u_{n+1} = 0,8 \left ( 5 - 4\times 0,8^n \right ) +1
          = 0,8\times 5 - 4 \times 0,8^{n+1} +1
          = 4 - 4 \times 0,8^{n+1} +1
          = 5 - 4 \times 0,8^{n+1}$
          Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. La propriété $\mathcal{P_n}$ est donc héréditaire pour tout $n$.
          Conclusion : La propriété est vraie pour $n = 0$. Elle est héréditaire à partir du rang 0.
          Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.


        3. $u_{n+1}-u_n=\left ( 5-4\times 0,8^{n+1}\right ) - \left ( 5-4\times 0,8^{n}\right )= 5-4\times 0,8^{n+1} - 5+4\times 0,8^{n}= 4\times 0,8^n \left (1-0,8\right )\\
          \phantom{u_{n+1}-u_n}= 4\times 0,8^n \times 0,2 > 0$

          Pour tout $n$, on a démontré que $u_{n+1} > u_n$ donc la suite $(u_n)$ est croissante.
          $-1<0,8 < 1$ donc la suite géométrique $(0,8^n)$ de raison 0,8 converge vers 0.

          $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$, et $\lim\limits_{n \to+\infty} 4\times 0,8^n=0$ donc $ \lim\limits_{n \to +\infty} 5-4\times 0,8^n=5$.

        Exercice 9

        On considère la suite $(u_n) $ définie par :
        $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ :$ u_{n+1 }=\sqrt{2u_n}$.

        1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $ 0 < u_n \leq 2 $.

        2. Déterminer le sens de variation de la suite $ ( u_n) $.

        3. Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

          4. On ne demande pas la valeur de sa limite.

        Corrigé


        1. On va montrer par récurrence que la propriété $\mathcal P_n : 0 < u_n \leq 2$ est vraie pour tout $n \in \mathbb N$
          initialisation : $0 < u_0 \leq 2, \quad \mathcal P_0$ est donc vraie.
          Hérédité : Supposons que $\mathcal P_n $ est vraie c à d que : $0 < u_n \leq 2$ pour un entier naturel $n$. Donc $0 <2 u_n \leq 4$, comme la fonction racine carré est croissante sur $\mathbb R_+^*$ on a alors $0 <\sqrt{2 u_n }\leq 2$. Donc $ 0 < u_{n+1} \leq 2$ et $\mathcal P_{n+1}$ est vraie.
          Conclusion: D'après le principe de récurrence, on a pour tout $ n \in \mathbb N,~0 < u_n \leq 2$ .

        2. Les termes de la suite $ ( u_n) $ sont strictement positifs. On peut donc comparer $ \frac{ u_{n+1 }}{u_n} $ à 1 pour trouver le sens de variation de la suite $ ( u_n)$ .
          $ \frac{ u_{n+1 }}{u_n}= \sqrt{\frac{2}{u_n}}$ . Comme $u_n \leq 2$, on a $\frac{2}{u_n} \geq 1 $ . Par conséquent $\sqrt{\frac{2}{u_n}} \geq 1$ . La suite $( u_n)$ est croissante.

        3. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 2 donc elle est convergente