Exercice 1
- Soit
la fonction définie sur
par :
et
sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité
cm.
Calculer l’aire sous la courbesur l’intervalle
.

![Rendered by QuickLaTeX.com ]0;+\infty[](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-80243cc86f99e2d74411fff3ccaa6a1e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in ]0;+\infty[, ~~3+\dfrac{2}{x} > 0](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00ae4bfbe67455df0a02344fecc13583_l3.png)

![Rendered by QuickLaTeX.com [1;4]](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d47d6bab2b045a261fb0309c3d5a687_l3.png)
Ainsi l’aire sous la courbe

![Rendered by QuickLaTeX.com [1;4]](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d47d6bab2b045a261fb0309c3d5a687_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathscr{A}&=\displaystyle \int_1^4 f(x)dx \\&=\Big[3x+2\ln(x)\Big]_1^4 \\&=12+2\ln(4)-\left(3+2\ln(1)\right) \\&=12+2\ln(4)-3\\&=9+2\ln(4)\text{ u.a.}](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0dd3a0f36c19ac286e662b04b10312f4_l3.png)
Or


Donc :

Exercice 2



Calculer


Exercice 3
![Rendered by QuickLaTeX.com [-2;1]](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d52ba7540794bbf65e3a50e1f91136d3_l3.png)



![Rendered by QuickLaTeX.com [a;b]](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-36aa66b889b1aefbb31697e167b93773_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com m&=\dfrac{1}{1-(-2)}\displaystyle \int_{-2}^1 3x^2dx \\ &=\dfrac{1}{3}\Big[x^3\Big]_{-2}^1 \\ &=\dfrac{1^3-(-2)^3}{3} \\ &=\dfrac{1+8}{3} \\ &=3](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19217812a0b3e56c9c84ef644e4c75fb_l3.png)
Exercice4





Calculer l’aire du domaine situé entre


![Rendered by QuickLaTeX.com [-4;1]](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dde1714966912932596c9c615de08b06_l3.png)
et
sont deux fonctions continues sur
donc
et
le sont aussi.
Il faut déterminer le signe de sur
.
Pour tout réel on a :
est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est
et les racines sont
et
.
Or ,donc
sur
.
Ainsi l’aire du domaine situé entre et
sur
est :
Exercice 5
Exercice 6









- Montrer que la suite
est croissante.
- On admet que pour tout réel
de l’intervalle
,:
.
- Montrer que, pour tout entier naturel
.
- Soit
la fonction définie et dérivable sur l’intervalle
telle que :
de la fonction
.
- En déduire que, pour tout entier naturel
.
- Montrer que, pour tout entier naturel
- Montrer que la suite
est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
-
donc, pour tout
de
,
La fonction
est positive sur
donc sur
; on peut en déduire que
et donc que
pour tout
.
La suite
est donc croissante.
-
-
Sur
, on sait que
; de plus, pour tout
,
. Donc
.
On multiplie cette inégalité par
donc:
.
D’après la croissance de l’intégration:
.
Ce qui équivaut à
.
-
La fonction
est dérivable sur
comme produit de fonctions dérivables et
.
-
On déduit de la question précédente que la fonction
est une primitive de la fonction
.
Donc
.
Pour tout
,
on a alors
ce qui implique
.
Donc
, en multipliant par 2 on obtient
, finalement
.
-
La suite
est croissante et majorée par 2 donc, d’après le théorème de la convergence monotone, la suite
est convergente.
-