Exercice 1
- Soit la fonction définie sur par : et sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité cm.
Calculer l’aire sous la courbe sur l’intervalle .
Ainsi l’aire sous la courbe sur l’intervalle est :
Or cm
Donc :
Exercice 2
Calculer .
Exercice 3
Donc la valeur moyenne cherchée est :
Exercice4
Calculer l’aire du domaine situé entre et sur
et sont deux fonctions continues sur donc et le sont aussi.
Il faut déterminer le signe de sur .
Pour tout réel on a :
est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est et les racines sont et .
Or ,donc sur .
Ainsi l’aire du domaine situé entre et sur est :
Exercice 5
Exercice 6
On admet que la fonction est positive sur l’intervalle . Soit la suite définie pour tout entier naturel par . On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de en fonction de .
- Montrer que la suite est croissante.
- On admet que pour tout réel de l’intervalle ,: .
- Montrer que, pour tout entier naturel .
- Soit la fonction définie et dérivable sur l’intervalle telle que :
- En déduire que, pour tout entier naturel .
- Montrer que la suite est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
-
donc, pour tout de ,
La fonction est positive sur donc sur ; on peut en déduire que et donc que pour tout .
La suite est donc croissante.
-
-
Sur , on sait que ; de plus, pour tout , . Donc .
On multiplie cette inégalité par donc: .
D’après la croissance de l’intégration: .
Ce qui équivaut à .
-
La fonction est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables et
.
-
On déduit de la question précédente que la fonction est une primitive de la fonction .
Donc .
Pour tout , on a alors ce qui implique .
Donc , en multipliant par 2 on obtient , finalement .
-
La suite est croissante et majorée par 2 donc, d’après le théorème de la convergence monotone, la suite est convergente.
-