Exercice 1
La figure ci-dessous représente le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. Montrer que les droites et
sont orthogonales.
Utiliser le repère orthonormé
Coordonnées des points et des vecteurs
Les coordonnées des points A, G, E, et B sont les suivantes :
Les coordonnées des vecteurs et
sont respectivement :
Orthogonalité des vecteurs
Montrons que les vecteurs et
sont orthogonaux. Deux vecteurs sont orthogonaux s’ils ont un produit scalaire nul. Le produit scalaire de
et
est donné par :
Comme le produit scalaire est nul, les vecteurs et
sont orthogonaux. Ainsi, les droites (AG) et (EB) sont orthogonales car elles possèdent des vecteurs directeurs orthogonaux.
Exercice 2
On considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. L’espace est muni du repère orthonormé![Rendered by QuickLaTeX.com \left(A;\, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a77865fff717ec6a60794dd3afc3702_l3.png)
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- Déterminer les coordonnées des points
,
,
,
,
, et
:
- Montrer que la droite
est orthogonale au plan
.
1-Les coordonnées des points E, F, A et H sont :
,
,
et
est le milieu de
:
est le milieu de
:
2-Les points ,
et
ne sont pas alignés, donc les vecteurs
et
forment une base du plan
.
Montrons que le vecteur est orthogonal au vecteur
et au vecteur
en utilisant le produit scalaire.
Vecteur :
Vecteur :
Vecteur :
Produit scalaire :
Comme les produits scalaires sont nuls, le vecteur qui est un vecteur directeur de la droite
est un vecteur normal au plan
, Ceci montre que la droite
est orthogonale au plan
.
Exercice 3
On considère un cube (ABCDEFGH). L’espace est muni du repère orthonormé .
- Donner une représentation paramétrique de la droite (AG).
- Déterminer les positions du point M sur la droite (AG) telles que les
droites (MB) et (MD) soient orthogonales.
1.La droite passe par l’origine du repère
et a pour vecteur directeur
. Une représentation paramétrique de la droite
est donnée par :
2. On cherche le point de
tel que
, c’est-à-dire
est un point de
donc ses coordonnées sont de la forme
.
- Les coordonnées de
sont
, donc
.
- Les coordonnées de
sont
, donc
.
- Le produit scalaire
.
sur la droite
telles que
et
soient orthogonales :
est à l’origine en A pour
,
a pour coordonnées
pour
.
Exercice 4
On considère le cube (ABCDEFGH) illustré dans la figure ci-dessus.
Les trois points ,
et
vérifient :
On se place dans le repère orthonormé .
1. Donner les coordonnées des points ,
et
.
2. Démontrer que le vecteur est normal au plan
.
3. Donner une équation cartésienne du plan .
1.
I , J
, K
.
2.
On a ,
,
.
Or et
.
Le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) donc il est normal à ce plan.
3.
Le vecteur (1,1,1) est normal au plan donc:
Or le point I.
Par conséquent:.
Le plan (IJK) a pour équation cartésienne .
Exercice 5
![Rendered by QuickLaTeX.com (\mathcal{O};\vec{i},\vec{j},\vec{k})](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6743faaa1a708c35f69777327220083d_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{\text{AB}} (-3~;~6~;~0)](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d658d30617bf321cee8f945b8feba17_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{n} = -3 \times 4 + 6 \times 2 + 0 \times 0 = 0](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5924049ebe4481c1f3771817fa0ac2d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{\text{AC}} (-3~;~0~;~4)](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f7273de3f91b07d887903aedb451b9c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{n} = -3 \times 4 + 0 \times 0 + 4 \times 3 = 0](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6bc8f9df26961b18bf3b627776d130f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{n}](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f830b42b742b35d42d173ed5abde00c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{\text{AB}}](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27b58f885f9fa5243fe42d1de9e41909_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{\text{AC}}](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c21233e18af0d5739a168121538843ae_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{n}](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f830b42b742b35d42d173ed5abde00c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 4x+2y+3z+d = 0](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6217f51f663b081bb01dab516e117ea_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (3~;~0~;~0)](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1812ef82a54139d394d9436794f8c825_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 4 \times 3 + d = 0 \iff d = -12](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-33af2c73f58bb99c0c79f758f056688a_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-209700afd79694331e3f9448ad49652a_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-209700afd79694331e3f9448ad49652a_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-209700afd79694331e3f9448ad49652a_l3.png)
On résout le système d’équation suivant :
On a remplacé par
dans l’équation paramétrique de la droite
on obtient ainsi
.