Vecteurs, droites et plans de l’espace

Vecteurs, droites et plans de l’espace

1-Produit scalaire

On appelle produit scalaire de deux vecteurs \vec{u} et \vec{v}, le réel \vec{u} \cdot \vec{v} défini par : \vec{u} \cdot \vec{v}= \Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos{(\vec{u},\vec{v} )}.

Dans le cas où l’espace est rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k} ), le produit scalaire des vecteurs \vec{u} \begin{pmatrix} a \\b \\c \end{pmatrix} et \vec{u} \begin{pmatrix}a' \\b' \\c' \end{pmatrix}  est donné par :

    \[\vec{u} \cdot \vec{v}=aa'+bb'+cc'\]

2-Représentation paramétrique d’une droite dans l’espace .

Soient A(x_0,y_0,z_0) un point de l’espace et \vec{u} \begin{pmatrix} a \\b \\c \end{pmatrix} un vecteur non nul. La droite \Delta passant par A et de vecteur directeur \vec{u} est l’ensemble des points de coordonnées (x,y,z) vérifiant le système paramétrique suivant :\begin{cases}x=x_0+ka\\y=y_0+kb, & k\in \mathbb R \\z=z_0+kc \end{cases}

3-Equation cartésienne d’un plan dans l’espace .

On se place dans un repère orthonormée (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k} ). Soit \vec{n}\begin{pmatrix} a \\b \\c \end{pmatrix} non nul.

Une équation cartésienne d’un plan (P) admettant \vec{n} pour vecteur normal est :

    \[ax+by+cz+d=0, \text{ où d } \in \mathbb R\]

Réciproquement, Si un plan (P) admet une équation cartésienne de la forme :

    \[ax+by+cz+d=0\]

alors le vecteur \vec{n}\begin{pmatrix} a \\b \\c \end{pmatrix} est normal à (P).

Exercices type Bac

1-Droites coplanaires, coordonnées du milieu, équation cartésienne d’un plan.

Exercice-1-geo-en

Exercice-1-geo-c

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2-Equation cartésienne d’un plan, représentation paramétrique d’une droite.

Exercice-2-Geom-e

Exercice-2-geo-c

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3-Equation cartésienne d’un plan, représentation paramétrique d’une droite, projeté orthogonale d’un point.

Exercice-3-geo-en

Exercice-3-geo-c

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4-Equation cartésienne d’un plan, représentation paramétrique d’une droite.

Exercice-4-geo-en

Exercice-4-geo-c

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5-Equation cartésienne d’un plan, représentation paramétrique d’une droite.

Exercice-5-geo-en

Exercice-5-geo-c

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6-Equation cartésienne d’un plan, représentation paramétrique d’une droite.

Exercice-6-geo-en

Exercice-6-geo-c

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7-Equation cartésienne d’un plan, représentation paramétrique d’une droite.

Exercice-7-geo-en

Exercice-7-geo-c

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8- Intersection de deux plans, équation cartésienne d’un plan, équation paramétrique d’une droite, projeté orthogonal d’un point.

Exercice-8-Geom-e

Exercice-8-geom-c

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9- Équation cartésienne d’un plan, équation paramétrique d’une droite, mesure d’angle.

Exercice-geom-9-c

Indications pour l'exercice 9




  1. Montrer que les droites (LM) et (BD) sont \textcolor{red}{coplanaires} et sont contenues dans deux plans \textcolor{red}{strictement parallèles.}

  2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{FL}$ et de $\overrightarrow{FE}$ puis utiliser l'égalité $\overrightarrow{FL}=\frac{2}{3}\overrightarrow{LE}$.



    • La droite (BL) contient le point B et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{BL}$.

    • Déterminer une équation paramétrique de la droite (AE) qui passe par l’origine et a pour vecteur directeur $\vec{k}$, puis résoudre un système d'équations.




    • Vérifier que $\vec{n}$ est orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan (BDL).

    • Le plan (BDL) est l'ensemble des points P de coordonnées $(x,y,z)$ tels que $\overrightarrow{BP}\cdot \vec{n}=0$.

    • Résoudre un système d'équations formé d'une équation paramétrique de la droite (EH) et d'une équation cartésienne du plan (BDL).


  5. Calculer les distances EL, EM, ES et utiliser la formules:

    $\bullet $ Aire d'un triangle $\frac{base \times hauteur}{2}~~$ pour calculer l'aire de la base du tétraèdre.


    $\bullet $ Volume d'un tétraèdre $\frac{aire ~de ~la~base \times hauteur}{3}~~$ .

    On trouve EL=EM=2, Aire de la base =$2 m^2$ et Volume du tétraèdre $2m^3$

  6. Dans le triangle SLE rectangle en E utiliser $\tan \widehat{SLE}$.

    On trouve $\widehat{SLE}=\approx{56,3}^{\circ}$ .
Exercice-geom-V1-C

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10- Coordonnées, longueurs, équation cartésienne d’un plan, équation paramétrique d’une droite.

Exercice-10-Geom-e


  1. AB = AD = 6.




    • Le plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{\text{OH}}\left(0~;~2\sqrt{3}~;~\sqrt{6}\right)$ et passe par le point I$\left(\frac{3}{2}~;~\frac{3}{2}\sqrt{3}~;~0\right)$.

    • Les coordonnées du point J$\left(\frac{3}{2}~;~\frac{1}{2}\sqrt{3}~;~\sqrt{6} \right)$ vérifient l'équation du plan $\mathcal{P}$.





    • $ \left\{\begin{array}{l c l}
      x&=&3t - 3\\
      y&=&t\sqrt{3}\\
      z&=&2t\sqrt{6}
      \end{array} \right.$ et K$\left(- \frac{3}{2}~;~\frac{\sqrt{3}}{2}~;~\sqrt{6} \right)$


    • $\overrightarrow{\text{IJ}}\left(0~;~- \sqrt{3}~;~\sqrt{6} \right)$ et $\overrightarrow{\text{JK}}\left(- 3~;~0~;~0 \right)$.
      Le produit scalaire : $\overrightarrow{\text{IJ}} \cdot \overrightarrow{\text{JK}}=0 $.

    • On appelle L le milieu du segment [A,C] ,ses coordonnées sont $(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\sqrt{3};0)$. Vérifier que le point L appartient au plan $\mathcal{P}$, Ainsi L est l’intersection de la droite (AC) et le plan $\mathcal{P}$.

      Le quadrilatère (IJKL) est un carré.


  3. Une équation paramétrique de la droite (BD) est :

    $\left\{\begin{array}{l c l}
    x&=&- 3t + 3\\
    y&=&t\sqrt{3}\\
    z&=&2t\sqrt{6}
    \end{array} \right.$. On a donc :
    $\overrightarrow{\text{O}M}\begin{pmatrix}- 3t + 3\\t\sqrt{3}\\2t\sqrt{6}\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{I}M}\begin{pmatrix}- 3t + \frac{3}{2}\\t\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{3}\\2t\sqrt{6}\end{pmatrix}$.

    D'où on déduit : $\overrightarrow{\text{O}M} \cdot \overrightarrow{\text{I}M} = 36t^2 - 18t + \frac{9}{2}$.

    Le triangle O$MI$ est rectangle en $M$ si $\overrightarrow{\text{O}M} \cdot \overrightarrow{\text{I}M}=0$ donc si $36t^2 - 18t + \frac{9}{2}=0$.


    Or $\Delta = - 324 < 0$, donc le trinôme $~36t^2 - 18t + \frac{9}{2}~$ n'a pas de racines réelles : il n'existe pas de position du point $M$ tel que le triangle $OIM$ soit rectangle en $M$.


11- Baccalauréat spécialité maths 5 mai 2022 sujet 1.

Exercice-11-geom-en

Exercice-11-geom-c