Rappel de cours sur les suites numériques

1-Suite géométrique

Si $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q$ avec $q \neq 1$ et de premier terme $u_0$ On alors :

$u_n=u_0q^n \quad \text{et}\quad S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}=\sum_{k=0}^{k=n}u_{k}=u_{0}\frac{1-q^{n+1}} {1-q}$

Si $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q$ avec $q\neq 1$ et de premier terme $u_{n_0}$ , où $n_0\in \mathbb{N}$ . On alors

$u_n=u_ {n_0} q^{n- {n_0} } \quad \text{et}\quad S_{n}=u_{n_0}+u_{n_0+1}+\cdots+u_{n}=\sum_{k=n_0}^{k=n}u_{k}=u_{n_0}\frac{1-q^{n- {n_0} +1}} {1-q}$

2-Les limites de références

$\lim\limits_{n\to +\infty} n=+\infty$

$\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$

$\lim\limits_{n \to +\infty} n^p=+\infty$ où $p\in \mathbb{N}^*$

$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{1}{n}=0$

$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=0$

$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p}=0$ où $p \in \mathbb{N}^*$

Si $q >1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty} q^n=+\infty$

Si $-1 < q <1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$

Si $q \leq -1$ alors la suite $(q^n )$ n’a pas de limite

3-Inégalités et limites de suites

a) Théorème de comparaison : $(u_n)$ est $(v_n)$ sont deux suites telles qu’à partir d’un certain rang on a $u_n \leq v_n$ .

si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=+\infty$
si $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=-\infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty$

b) Théorème dit « des gendarmes » : Soit $(u_n)$ , $(v_n)$ , et $(w_n)$ trois suites réelles telles que $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\lim\limits_{n\to +\infty} v_n =\ell \in \mathbb{R}$ . Si à partir d’un certain rang, $u_n \leq w_n \leq v_n$ alors $\lim\limits_{n\to \infty}w_n=\ell$ .

4-Suite, minorée, majorée, bornée

a) Définition 1 :

Une suite $(u_n)$ est dite:

minorée lorsque qu’il existe un réel $m$ tel que, pour tout entier $n$ , $u_n \geq m$ .
majorée lorsque qu’il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier $n$ , $u_{n} \leq M$
bornée lorsqu’elle est à la fois minorée et majorée, c’est-à-dire lorsqu’il existe deux réels $m$ et $M$ tels que, pour tout entier $n$ , $m \leq u_n\leq M$ .

b) Définition 2 :

Une suite est dite croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\quad u_{n+1}-u_n \geq 0$ .
Une suite est dite décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\quad u_{n+1}-u_n \leq 0$
Une suite est dite monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.

c) Convergence des suite monotone.

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.
Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ .
Toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$

5-Suite définie par récurrence.

a) Définition

Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu’ils existent. Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et $a$ un nombre réel La suite $(u_n)$ définie par :

$u_0=a$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = f(u_n)$ est une suite récurrente.

b) Convergence d’une suite définie par récurrence

Soit $𝑓$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et $𝑎$ un nombre réel.

Notons $(u_n)$ la suite définie par : $u_0 = a$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Si on démontre que la suite $(u_n)$ est convergente vers un nombre réel $\ell$ et que la fonction $f$ est continue en $\ell$ , alors en passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient l’égalité $f(\ell) = \ell$ .

Ce qui veut dire que si une suite $(u_n)$ converge alors sa limite est solution de l’équation $f(\ell) = \ell$ .

6-Raisonnement par récurrence

a) Méthode

Soit $P_n$ une propriété relative à l’entier n et $n_0$ un entier.

Initialisation : On vérifie que la propriété $P_{n_0}$ est vraie,
Hérédité : On montre que si la propriété $\mathcal{P}_n$ avec $n\ge n_0$ est vrais alors la propriété $P_{n+1}$ est aussi vraie.
Conclusion : Pour tout entier naturel $n > n_0$ la propriété $P_n$ est vraie.

b) Remarques.

La propriété $P_n$ peut être de différentes natures égalité, inégalité, proposition . . .
Les conditions initialisation et d’hérédité sont indispensables.
La condition d’hérédité est une implication, on suppose que $P_n$ est vraie puis on montrer que $P_{n+1}$ est vraie.

Exercices type bac

1-Suite récurrente, raisonnement par récurrence et limite et comparaison.

Exercice 1

Exercice-1-suites-en

Corrigé de l’exercice 1

Exercice-1-suites-c

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2 Convergence monotone, théorème dit » des gendarmes », algorithme.

Exercice 2

Exercice-2-suites-en

Corrigé de l’exercice 2

Exercice-2-suites-c

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3-Raisonnement par récurrence, suite géométrique, convergence monotone et limite.

Exercice 3

Exercice-3-suites-en

Corrigé de l’exercice 3

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4-Suite géométrique, raisonnement par récurrence, sens de variation.

Exercice 4

Exercice-4-suites-en

Corrigé de l’exercice 4

Exercice-4-suites-c

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5-Suite récurrente, Python, suite géométrique et limite.

Exercice 5

Exercice-5-suites-en

Corrigé de l’exercice 5

Exercice-5-suites-c

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6-suite récurrente, Python, raisonnement par récurrence.

Exercice 6

Exercice-6-suites-en

Corrigé de l’exercice 6

Exercice-6-suites-c

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7- Suite récurrente, tableur, suite géométrique.

Exercice 7

Exercice-7-suites-en

Corrigé de l’exercice 7

Exercice-7-suites-c

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8-Suite récurrente, convergence monotone, Python.

Exercice 8

Exercice-8-suites-en

Corrigé de l’exercie 8

Exercice-8-suites-c

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9-suite récurrente, suite géométrique axillaire , raisonnement par récurrence.

Exercice 9

Exercice-9-suites-en

Corrigé de l’exercie 9

Exercice-9-suites-c

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10 Suites récurrentes, suite géométrique, probabilités conditionnelles, limites.

Exercice 10 $($ 1heure 10 min $)$ 6 points

Exercice-suites-10-en

Corrigé de l’exercie 10

Exercice-10-suites-c

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11- Exemple d’exercice sur 7 points.

Exercice 11

Exercice-11-suite-en

Réponses : Exercie 11

\textcolor{red}{Réponses et indications pour l’exercice 11.}

- $u_1=2$ et $v_1=3$
- Pour tout $n$ , $v_{n+1}-v_n=2u_n > 0$
- Pour montrer l’hérédité : $u_{n+1}=u_n+v_n$ ; or $u_n\geqslant n+1$ et $v_n\geqslant 1$
- Pour tout $n$ , $u_n\geqslant n+1$ ; or $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n+1=+\infty$ , donc par comparaison, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty$
- Pour montrer l’hérédité :
  $2u_{n+1}^2-v_{n+1}^2=2(u_n+v_n)^2-(2u_n+v_n)^2=-2u_n^2+v_n^2=$
  
  $=-(2u_n^2-v_n^2)=-(-1)^n=(-1)^{n+1}$
- $r_n^2-2=\left(\dfrac{v_n}{u_n}\right)^2-2=-\dfrac{2u_n^2-v_n^2}{u_n^2}=-\dfrac{(-1)^n}{u_n^2}=\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$
  en déduit que :
  $r_n^2 = 2 + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}$
- On a pour tout $n \in \mathbb N,~~$ $-1\leqslant (-1)^{n+1} \leqslant 1$
- $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} -\dfrac{1}{u_n^2} = \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{u_n^2} = 0$ . Comme pour tout $n$ : $- \dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}$ alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}=0$ (Théorème des gendarmes)
- $r_n^2 = 2 + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}=0$ , donc: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} r_n^2=2$
- Pour tout entier naturel $n$ , $r_{n+1}=\dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}} = \dfrac{2u_n + v_n}{u_n+v_n} =\dfrac{u_n\left (2+\dfrac{v_n}{u_n}\right )}{u_n \left ( 1+\dfrac{v_n}{u_n}\right )} =\dfrac{2+\dfrac{v_n}{u_n}}{ 1+\dfrac{v_n}{u_n}} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}$
- La valeur renvoyée est la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $\vert r_n-\sqrt{2} \vert \leq 10^{-4}$ .