Rappel de cours sur les suites numériques
Si est une suite géométrique de raison
avec
et de premier terme
On alors :
Si est une suite géométrique de raison
avec
et de premier terme
, où
. On alors
où
où
Si alors
Si alors
Si alors la suite
n’a pas de limite
a) Théorème de comparaison : est
sont deux suites telles qu’à partir d’un certain rang on a
.
- si
alors
- si
alors
b) Théorème dit « des gendarmes » : Soit ,
, et
trois suites réelles telles que
. Si à partir d’un certain rang,
alors
.
a) Définition 1 :
Une suite est dite:
- minorée lorsque qu’il existe un réel
tel que, pour tout entier
,
.
- majorée lorsque qu’il existe un réel
tel que, pour tout entier
,
- bornée lorsqu’elle est à la fois minorée et majorée, c’est-à-dire lorsqu’il existe deux réels
et
tels que, pour tout entier
,
.
b) Définition 2 :
- Une suite est dite croissante si pour tout
,
.
- Une suite est dite décroissante si pour tout
,
- Une suite est dite monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.
c) Convergence des suite monotone.
- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
- Toute suite croissante non majorée tend vers
.
- Toute suite décroissante non minorée tend vers
a) Définition
Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu’ils existent. Soit une fonction définie sur
et
un nombre réel La suite
définie par :
et pour tout entier naturel
,
est une suite récurrente.
b) Convergence d’une suite définie par récurrence
Soit une fonction définie sur
et
un nombre réel.
Notons la suite définie par :
et pour tout entier naturel
,
.
Si on démontre que la suite est convergente vers un nombre réel
et que la fonction
est continue en
, alors en passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient l’égalité
.
Ce qui veut dire que si une suite converge alors sa limite est solution de l’équation
.
a) Méthode
Soit une propriété relative à l’entier n et
un entier.
- Initialisation : On vérifie que la propriété
est vraie,
- Hérédité : On montre que si la propriété
avec
est vrais alors la propriété
est aussi vraie.
- Conclusion : Pour tout entier naturel
la propriété
est vraie.
b) Remarques.
- La propriété
peut être de différentes natures égalité, inégalité, proposition . . .
- Les conditions initialisation et d’hérédité sont indispensables.
- La condition d’hérédité est une implication, on suppose que
est vraie puis on montrer que
est vraie.
Exercices type bac
1-Suite récurrente, raisonnement par récurrence et limite et comparaison.
Télécharger ici l’exercice 1
2 Convergence monotone, théorème dit » des gendarmes », algorithme.
Télécharger ici l’exercice 2
3-Raisonnement par récurrence, suite géométrique, convergence monotone et limite.
Télécharger ici l’exercice 3
4-Suite géométrique, raisonnement par récurrence, sens de variation.
Télécharger ici l’exercice 4
5-Suite récurrente, Python, suite géométrique et limite.
Télécharger ici l’exercice 5
6-suite récurrente, Python, raisonnement par récurrence.
Télécharger l’exercice 6
7- Suite récurrente, tableur, suite géométrique.
Télécharger ici l’exercice 7
8-Suite récurrente, convergence monotone, Python.
Télécharger ici l’exercice 8
9-suite récurrente, suite géométrique axillaire , raisonnement par récurrence.Télécharger ici l’exercice 9
10 Suites récurrentes, suite géométrique, probabilités conditionnelles, limites.
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Télécharger ici l’exercice 10
11- Exemple d’exercice sur 7 points.
-
-
et
- Pour tout
,
La suite -
Pour montrer l’hérédité :
; or
et
On en déduit que - Pour tout
,
; or
, donc par comparaison,
est strictement croissante, donc, pour tout
,
donc
-
-
- Pour montrer l’hérédité :
-
- Pour montrer l’hérédité :
-
- On a pour tout
-
. Comme pour tout
:
alors
(Théorème des gendarmes)
-
et
, donc:
On peut en déduire que la suite - Pour tout entier naturel
,
- La valeur renvoyée est la plus petite valeur de
pour laquelle
.
on obtient:
converge vers
- On a pour tout
12- Baccalauréat spécialité maths 4 mai 2022 sujet 1.
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13- Baccalauréat spécialité maths 5 mai 2022 sujet 2.