Exercices corrigés – Probabilités

Arbre pondéré, Probabilités conditionnelles, Probabilités totales

Exercice 1

Une urne contient 3 boules bleues . et 4 boules rouges.
On tire au hasard et avec remise une boule de l'urne deux fois de suite.
On note B l'évènement "obtenir une boule bleue" et R l'évènement "obtenir une boule rouge".

  1. Compléter l'arbre suivant :







  2. Déterminer la probabilité d'obtenir :


    • 2 boules rouges

    • 1 boule bleue et 1 boule rouge.













    • D'après l'arbre pondéré, il y a un seul chemin qui réalise l'évènement "obtenir 2 boules rouges" c'est le chemin $(\color{red}{RR})$
      $P("~obtenir ~2~ boules~ \color{red}{rouges"})=\color{red}{\frac{4}{7}}\times\color{red}{ \frac{4}{7}}= \frac{16}{49}$

    • Il y a deux chemins qui réalisent l'évènement " obtenir 1 boule bleue et 1 boule rouge " ce sont les chemins $(\color{blue}{B}\color{red}{R})$ et $(\color{red}{R}\color{blue}{B})$.

      $P("~obtenir ~1~ boule~\color{blue}{ bleue~}et ~1~boule~\color{red}{rouge} ")=\color{blue}{\frac{3}{7}}\times \color{red}{\frac{4}{7}}+\color{red}{\frac{4}{7}}\times \color{blue}{ \frac{3}{7}}=\frac{24}{49}$.




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Exercice 2

Dans la salle des profs 60% sont des femmes; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle est la probabilité pour qu’un porteur de lunettes pris au hasard soit une femme ?

1) Commencer par compléter l'arbre pondéré suivant, où on a noté les différents événements : F : «être femme», L : «porter des lunettes», H : «être homme».






2) Répondre à la question

  1. $P(F)= 0,6$ donc $P(H)= 0,4$ et la probabilité conditionnelle de «porter des
    lunettes» sachant que la personne est une femme est $P_F(L) = \frac{1}{3}$.
    la probabilité conditionnelle probabilité de «porter deslunettes» sachant que la personne est un homme est $P_H(L) = 0,5$.
    On peut donc compléter l'arbre pondéré.







  2. On cherche la probabilité conditionnelle $P_L(F)$. On a : $P_L(F)=\frac{P(F \cap L)}{P(L)}$.

    • D'une part : $P(F \cap L)=P(F)\times P_F(L)=0,6\times \frac{1}{3}=0,2$.


    • Et d'autre part, d’après la formule des probabilités totales on a :$P(L) = P(F \cap L)+P(H \cap L)=P(F)\times P_F(L)+P(H)\times P_H(L)=$
      $ =0,6 \times \frac{1}{3}+0,4 \times 0,5=0,4$

      • Donc : $P_F(L) = \frac{0,2}{0,4}=0,5$

Exercice 3

Une urne $U_1$ contient 4 jetons blancs et 3 noirs et une urne $U_2$ contient 17 jetons blancs et 18 noirs.
On jette un dé cubique dont chaque face a la même probabilité d'apparaître.
Si le 6 apparaît, on tire un jeton de l'urne $U_1$ sinon on tire un jeton de l'urne $U_2$ .
On considère les événements A : " On a obtenu 6 en jetant le dé " et B : "On obtient un jeton blanc".
On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

  1. Déterminer la probabilité de tirer un jeton blanc

  2. On a tiré un jeton blanc ; calculer la probabilité pour qu'il provienne de $U_1$ .

  3. On a tiré un jeton noir ; calculer la probabilité pour qu'il provienne de $U_2$.

  1. $P(A) = \frac{1}{6}$ ; $P( \overline{A} ) =\frac{5}{6}$; $P_A(B) = \frac{4}{7}$ et $P_{\overline{A}}(B ) =\frac{17}{35}$
    D'après la formule des probabilités totales on a :
    $P(B) =P(A \cap B) + P( \overline{A }\cap B) =P_A(B)P(A)+ P_{\overline{A}}(B )P( \overline{A} )=\frac{4}{7} \times \frac{1}{6}+\frac{17}{35} \times \frac{5}{6}=\frac{1}{2}$

  2. On cherche $P_B(A)$: $$P_B(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{7}\times\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{21}$$


  3. On cherche $P_{\overline{B}}(\overline{A})$: $$P_{\overline{B}}(\overline{A})=\frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{\frac{18}{35} \times \frac{5}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{6}{7}$$

Variable aléatoire

 

Exercice 4:

Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.

Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est acheminé chez le client. Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois.

Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit.


Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour $70\%$ des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement $65\%$ d’entre eux passent le second test avec succès.


On note $T_1$ l’événement : “le premier test est positif”.

On note $C$ l’événement : “l’écran est acheminé chez le client”.



  1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des événements $T_1$ et $C$.

    $\quad$

  2. La fabrication d’un écran revient à $1000$ euros au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois. Cela lui coûte $50$ euros de plus si l’écran doit être testé une seconde fois. Un écran est facturé $a$ euros ($a$ étant un réel positif) au client.

    On introduit la variable aléatoire $X$ qui, à chaque écran fabriqué, associe le “gain” (éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.

    a. Déterminer la loi de probabilité de $X$ en fonction de $a$.

    $\quad$

    b. Exprimer l’espérance de $X$ en fonction de $a$.

    $\quad$

    c. À partir de quelle valeur de $a$, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?



  1. $p\left(T_1\right)=0,7$.

    D’après la formule des probabilités totales on a :

    $\begin{align*} p(C)&=p\left(T_1\cap C\right)+p\left(\overline{T_1}\cap C\right) \\

    &=0,7+0,3\times 0,65\\

    &=0,895

    \end{align*}$

    $\quad$

  2. a. On obtient la loi de probabilité suivante :

    $$\begin{array}{|c|c|c|}

    \hline

    x_i&a-1~000&a-1~050&-1~050\\

    \hline

    P\left(X=x_i\right)&0,7&0,195&0,105\\

    \hline

    \end{array}$$
    b.

    \begin{align*}E(X)&=0,7(a-1~000)+0,195(a-1~050)-0,105\times 1~050\\
    &=0,7a-700+0,195a-204,75-110,25\\
    &=0,895a-1~015

    \end{align*}

    c. L’entreprise réalise des bénéfices si $E(X) > 0 $:On résout l’inéquation suivante

    $$\begin{align*} E(X)>0 &\iff 0,895a-1~015 > 0\\
    &\iff 0,895a>1~015\\
    &\iff a>\dfrac{1~015}{0,895}
    \end{align*}$$
    L’entreprise réalise donc des bénéfices si $a\geq 1~134,08$.

Loi binomiale

Exercice 5-1

Si une pièce est lancée 10 fois, quelle est la probabilité qu'elle tombe face 3 fois ?
Si on considère comme succès : "obtenir Face " et comme échec "obtenir Pile" et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de faces. On a alors $X$ qui suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=1/2. On cherche $P(X=3)$. On applique la formule du cours : $$P(X=k)=\color{red}{\binom{n}{k }}p^k(1-p)^{n-k}$$ avec $k=3$, donc
$$P(X=3)=\color{red}{\binom{10}{3 }}\left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2} \right)^7=0,1172$$
Pour calculer le coefficient binomial $\color{red}{\binom{10}{3 }}$ à l’aide d’une calculatrice utiliser la commande $\textcolor{red}{nCr}$.

Exercice 5-2

Si un médicament guérit 80% des personnes qui le prennent, quelle est la probabilité que sur les 8 personnes qui prennent le médicament, exactement 5 soient guéries ?
Si on considère comme succès : "La personne est guérie " et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes guéries. On a alors $X$ qui suit une loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,8$. On cherche $P(X=5)$. On applique la formule du cours : $$P(X=k)=\binom{n}{k }p^k(1-p)^{n-k}$$ avec $k=5$, donc
$$P(X=5)=\binom{8}{5 } \times 0,8^5 \times 0,2 ^3=0,1468$$

Exercice 5-3

Si un fabricant de micro puces affirme que seulement 4 % de ses puces sont défectueuses, quelle est la probabilité que parmi les 60 puces choisies, exactement trois soient défectueuses ?
Si on considère comme succès : "La puce est défectueuses " et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de puces défectueuses. On a alors $X$ qui suit une loi binomiale de paramètres $n=60$ et $p=0,04$. On cherche $P(X=3)$. Donc
$$P(X=5)=\binom{60}{3 } \times 0,04^3 \times 0,96 ^{57}=0,2138$$

Exercice 5-4

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(4;0,75)$.

  1. Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi, on notera S le succès et E l'échec d'une épreuve de Bernoulli.

  2. Compléter le tableau de la loi de probabilité de X. Arrondir les probabilités à 0,0001 près.
    \begin{array} {|r|r|}\hline k\quad \quad & 0 & 1& 2& 3& 4\\ \hline P(X = k )& & & & & \\ \hline \end{array}

  3. Calculer $P(X \leq 1)$ et $P(X \geq 2)$.

  4. Calculer l'espérance de X en utilisant la formule $E(X)=\sum\limits_{k=0}^4 P(X=k) \times k $ puis vérifier avec la formule du cours.

  5. Calculer l'espérance de X en utilisant la formule $VX)=\sum\limits_{k=0}^4P(X=k) \times (k-E(X))^2$ puis vérifier avec la formule du cours.
1.


Loi Binomiale(4;0.75)


2. \begin{array} {|r|r|}\hline k\quad \quad &0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline P(X = k )&0.0039 & 0.0469 & 0.2109 & 0.4219&0.3164 \\ \hline \end{array}
3.

  • $P(X \leq 1)=P(X = 0)+P(X =1)=0,0039+0,0469=0,0508.$


  • $P(X \geq 2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0,2109+0,4219+0,3164=0,9492$. Autre méthode : $P(X \geq 2)=1-P(X \leq 1)=1-0,0508=0,9492.$


4. $E(X)=\sum\limits_{k=0}^4P(X=k) \times k=$
$=0,0039 \times 0+0,0469 \ \times 1+0,2109 \times 2+0,4219\times 3+0,3164 \times 4=3$
La formule du cours donne $E(X)=np=4 \times 0,75=3$. On retrouve bien le même résultat.
5. On a $ V(X) =\sum\limits_{k=0}^4P(X=k) \times (k-E(X))^2 =$

$=(0-3)^2\times 0,0039+(1-3)^2\times 0,00469+$
$+(2-3)^2\times 0,2109+(3-3)^2\times 0,4219+(4-3)^2\times 0,3164=0,75 $
La formule de la variance est donnée par $V(x)=np(1-p)=4 \times 0,75 \times (1-0,75)=0,75$. On retrouve bien le même résultat.

Exercice 5: ( Bac ES/L Métropole–La Réunion septembre 2013 )

Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d'un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65% d’hommes.
Des études préalables ont montré que 30% des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt $($ ou se déclarant immédiatement non intéressés $)$.
Parmi les femmes, 60% écoutent les explications.
On admet que ces proportions restent stables.


Partie A
On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d’être choisie.
On note:
H l’évènement « la personne choisie est un homme »,
F l’évènement « la personne choisie est une femme »,
E l’évènement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur »
$\overline E$ est l’évènement contraire de E.
1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.
arbre de probabilités incomplet





2.a. Traduire par une phrase l'évènement E∩F et calculer sa probabilité.
2.b. Montrer que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405.
2.c. Le démarcheur s’adresse à une personne qui l’écoute.
Quelle est la probabilité que ce soit un homme?
On donnera le résultat arrondi au centième.


Partie B
Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12% des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.
Chaque employé de l’opérateur effectue 60 appels par jour.
On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne 5 souscriptions un jour donné.
On arrondira le résultat au centième.
3. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne au moins une souscription un jour donné.
On donnera une valeur arrondie au dix millième.
Partie A
1. Arbre de probabilité complété.






2.a. $E \cap F $ est L’événement : « la personne choisie est une femme qui écoute les explications du démarcheur »
$P(E \cap F)=P(F) \times P_F(E)=0,35\times0,60=0,21$


2.b. On cherche $P(E)$ : la probabilité de l'évènement :"la personne choisie écoute les explications du démarcheur "
La formule des probabilités totales donne :$P(E)=P(H \cap E)+P(F\cap E)$.
Donc : $P(E)=P(H) \times P_H(E)+P(E \cap F)=0,65\times0,30+0,21=0,195+0,21=0,405$.


2.c. Le démarcheur s’adresse à une personne qui l’écoute; la probabilité que ce soit un homme est La probabilité $P_E(H)=
\frac{P(H \cap E)}{P(E)} \approx{0,48}$.

Partie B

1. Un appel effectué par l'opérateur aboutit ou non à une souscription d'une personne au nouveau forfait . Cette expérience est répétée 60 fois par jour. Seulement deux issues possibles: "la personne souscrit au nouveau forfait" ou échec :" la personne ne souscrit pas au nouveau forfait". La probabilité du succès vaut 0,12. Les appels sont identiques et indépendants. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions. X suit donc une loi binomiale de paramètres $n=60$ et $p=0,12$.


2. $ P(X=5)= \begin{pmatrix}60\\5 \end{pmatrix} \times 0,12^5\times 0,88^{55}=0,120$.


3. La probabilité de l'évènement :" l’employé obtienne au moins une souscription un jour donné "est : $P(X≥1)$.
Qui s'écrit $P(X≥1)=1−p(X<1)=1−P(X=0)$.
Or $P(X=0)= 0,88^{60} \approx{0,0005}$.
Donc $P(X≥1) \approx{1-0,0005} \approx{ 0,9995}$.

Exercice 7:

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.
Partie A

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète $80\%$ de ses boîtes chez le fournisseur A et $20\%$ chez le fournisseur B.

$10\%$ des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et $20\%$ de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :

  • événement A : “la boîte provient du fournisseur A” ;

  • événement B : “la boîte provient du fournisseur B” ;

  • événement S : “la boîte présente des traces de pesticides”.



  1. Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.

  2. a. Quelle est la probabilité de l’événement $B \cap \overline{S}$ ?


    b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.

  3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
    Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?



Partie B

Le gérant d’un salon de thé achète $10$ boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de $10$ boîtes avec remise.
On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à ce prélèvement de $10$ boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.

  3. Calculer la probabilité qu’au moins $8$ boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.
Partie A







  2. a. $P\left( B \cap \bar{S} \right) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$


    b. On applique la formule des probabilités totales.

    $P\left( \bar{S} \right) = P\left( A \cap \bar{S} \right) + P \left( B \cap \bar{S} \right)$ $=0,8\times 0,9 + 0,16 $ $=0,88$

  3. On cherche $P_S(B) = \dfrac{p(B \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0,2 \times 0,2}{1 – 0,88}$ $= \dfrac{1}{3}$ $\approx 0,33$


Partie B


  1. Les $10$ tirages sont aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage ne possède que $2$ issues possibles : $S$ et $\bar{S}$,avec $p=P\left(\bar{S} \right) = 0,88$.

    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,88$.

  2. $P(X=10) = \displaystyle \binom{10}{10} 0,88^{10}\times(1-0,88)^0$ $=0,88^{10}$ $\approx 0,28$.

  3. $P(X \ge 8) = \displaystyle \binom{10}{8} 0,88^8 \times (1-0,88)^2 + \binom{10}{9} 0,88^9\times (1-0,88)^1$ +$\displaystyle \binom{10}{10} 0,88^{10} \times(1-0,88)^0$ $\approx 0,89$

Somme de variables aléatoires

Exercice 8:

1) Dresser un tableau donnant tous les résultats possibles de lancer de 2 dés équilibrés à 6 faces.

La variable aléatoire $X$ désigne le résultat du premier dé.

La variable aléatoire $Y$ désigne le résultat du deuxième dé.

On considère que les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépéndantes.

2) Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire somme $S=X+Y$, donnant la somme des résultats des 2 dés.
1) Tableau des résultats de lancer de 2 dés.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\large X \large\setminus{ Y} & 1& 2& 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
1 & (1; 1) & ( 1; 2 )&( 1; 3 )&( 1; 4 )&( 1; 5 )&( 1; 6 )\\ \hline
2 & (2; 1 ) &( 2; 2 )&( 2; 3 )&( 2; 4 )&( 2; 5 )&( 2; 6 \\ \hline
3 & (3; 1 ) &( 3; 2 )&( 3; 3)& (3; 4 )&( 3; 5 )&( 3; 6 )\\ \hline
4 & (4; 1 ) &( 4; 2 )&( 4; 3)& (4; 4 )&( 4; 5 )&( 4; 6 ) \\ \hline
5 & (5; 1 ) &( 5; 2 )&( 5; 3) & (5; 4 )&( 5; 5 )&( 5; 6 ) \\ \hline
6 & (6; 1 ) &( 6; 2 )&( 6; 3) & (6; 4 )&( 6; 5 )&( 6; 6 ) \\ \hline
\end{array}$$


2) Les valeurs possibles de la variables aléatoire $S$ sont donc $\{2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 \}$.

Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes donc
  • $P(S=2) =P(X=1) \times P(Y=1) =\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

  • $P(S=3) =P(X=1) \times P(Y=2)+P(X=2) \times P(Y=1) =2\times\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{2}{36}$

  • $\cdots$

    • On dresse le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire $S$
    $$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \hline
    P(S=k) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \\
    \hline


    \end{array}$$

Exercice 9:

On considère un jeu en deux parties :

  • La 1ère partie consiste à lancer une pièce de monnaie. Si on tombe sur « pile », on
    gagne 3 €, si on tombe sur « face », on gagne 4 €.


  • La 2e partie consiste à lancer un dé virtuel à 3 faces. Si on tombe sur « 1 », on
    gagne 1 €, si on tombe sur le « 2 » on gagne 2€ et si on tombe sur le « 3 », on perd 5 €

On considère $X$, $Y$ les variables aléatoires égales au gains algébriques du joueur respectives de la première partie et de la deuxième partie .

Par exemple, l’évènement $(X = 3) \cap (Y= −5)$ signifie qu’on a gagné 3 € à la première partie et on a perdu 5 € à la deuxième partie.

On considère que les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes.
Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire somme $S= X+Y$ donnant le gain total cumulé à la fin des deux parties et calculer sa moyenne.
La variable aléatoire $S= X+Y$ peut prendre les valeurs :$-2,-1,4;5$ et $6$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\large X \large\setminus{ Y}
& -5 & 1 & 2 \\
\hline
3& -2 & 4 & 5 \\
\hline
4 & -1 & 5 & 6 \\
\hline
\end{array}

  • $P(S=-2)=P(X=3)\times P(Y=-5)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} =\frac{1}{6}$

  • $P(S=5)=P(X=4)\times P(Y=1)+P(X=3)\times P(Y=2)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} +\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

  • $\cdots$


On dresse le tableau de la loi de probabilité de $S$:
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline

k&-2 & -1 & 4 & 5& 6 \\
\hline
P(S=k)& \frac{1}{6}& \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3}&\frac{1}{6} \\
\hline
\end{array}$


$E(S)=\frac{1}{6}\times (-2)+\frac{1}{6}\times (-1)+\frac{1}{6}\times (4)+\frac{1}{3}\times (5)+\frac{1}{6}\times (6)=\frac{17}{6} \approx{2,83} \text{€}$

Exercice 10


On lance deux tétraèdres réguliers numérotés de 1 à 4.

On appelle X la variable aléatoire donnant le résultat du premier dé et Y la variable aléatoire donnant le résultat du deuxième dé.
Considérons Z la variable aléatoire donnant la somme des deux résultats obtenus: Z=X+Y.



  1. Déterminer la loi de probabilité de Z.

  2. Déterminer les espérances $E(X)$, $E(Y)$ et $E(Z)$. Comparer $E(X)+E(Y)$ à $E(Z)$.

  3. Déterminer les variances $V(X)$, $V(Y)$ et $V(Z)$. Comparer $V(X)+V(Y)$ à $V(Z)$.

  1. $Z(\Omega)=\{2;3;4;5;6;7;8\}$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \large X \large\setminus{ Y} & 1& 2& 3 & 4 \\ \hline
    1 & (2) & ( 3 )&( 4 )&( 5)\\ \hline
    2 & (3 ) &(4 )&( 5 )&( 6 ) \\ \hline
    3 & (4 ) &( 5 )&(6)& (7 )\\ \hline
    4 & (5 ) &( 6 )&( 7)& (8 ) \\ \hline

    \end{array}$$


    Les 16 événements étant équiprobables, on obtient:
    $$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    z & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
    P(Z=z) & \frac{1}{16} & \frac{2}{16} & \frac{3}{16} & \frac{4}{16} & \frac{3}{16} & \frac{2}{16} & \frac{1}{16} \\
    \hline


    \end{array}$$


  2. $E(X)=E(Y)=\frac{1}{4}\times 1+\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 4=\frac{5}{2}$



    3. On obtient: $E(Z)=\frac{1}{16}\times 2+\frac{2}{16}\times 3+\frac{3}{16}\times 4+\frac{4}{16}\times 5+\frac{3}{16}\times 6+{2}{16}\times 7+\frac{1}{16}\times 8=5$


    on a l'égalité : $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.
  3. On a $$V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$$
    Soit: $V(X)=\frac{1}{4}\times 1^2+\frac{1}{4}\times 2^2+\frac{1}{4}\times 3^2+\frac{1}{4}\times 4^2-\left(\frac{5}{2} \right)^2=\frac{5}{4}$
    de même $V(Y)=V(X)=\frac{5}{4}$.
    $\begin{align*}V(Z) &=\frac{1}{16}\times 2^2+\frac{2}{16}\times 3^2+\frac{3}{16}\times 4^2+{4}{16}\times 5^2+\frac{3}{16}\times 6^2+\frac{2}{16}\times 7^2+\frac{1}{16}\times 8^2-5^2\\
    &=\frac{55}{2}-25=\frac{5}{2}\end{align*}$
    On a $V(X)+V(Y)=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{5}{2}$ donc $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$

Exercice 11


On lance deux dés à 6 faces.

Soit X la variable aléatoire donnant la somme des deux résultats obtenus, et Y la variable aléatoire donnant la valeur absolue de la différence des deux résultats.



  1. Déterminer les lois de probabilité de X, de 2X, de Y et de Z=2X+Y.

  2. Déterminer les espérances $E(X)$, $E(2X)$, $E(Y)$ et $E(Z)$.

  3. Déterminer les variances $V(X)$, $V(2X)$, $V(Y)$ et $V(Z)$.

  4. Comparer $V(2X)+V(Y)$ à $V(2X+Y)$.


  5. Les variables $2X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si, pour tous $x$ et $y$, $P\left(2X=2x \quad \color{blue}{ET} \quad Y=y \right)=P(2X=2x)\times P(Y=y)$

    Donc, s'il existe $x$ et $y$ tel que $P\left(2X=2x \quad \color{blue}{ET} \quad Y=y \right) \neq P(2X=2x)\times P(Y=y)$, alors les variables $2X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

    Les variables $2X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
$X(\Omega)=\{2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\}$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\large Dé 1\large\setminus{ Dé 2} & 1& 2& 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
1 & (2) & (3)&( 4 )&( 5 )&( 6 )&( 7 )\\ \hline
2 & (3 ) &( 4)&( 5 )&( 6 )&( 7 )&( 8) \\ \hline
3 & (4 ) &( 5 )&( 6)& (7 )&( 8 )&( 9 )\\ \hline
4 & (5) &( 6 )&( 7)& (8 )&( 9 )&( 10 ) \\ \hline
5 & (6 ) &( 7 )&( 8) & (9 )&( 10 )&( 11 ) \\ \hline
6 & (7 ) &( 8 )&( 9) & (10 )&( 11 )&( 12 ) \\ \hline
\end{array}$$
Les 36 événements étant équiprobables, on obtient:
$$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \hline
P(X=x) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \\
\hline

\end{array}$$




Comme $2X=x \iff X=\frac{x}{2}$, on obtient les tableaux suivants:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\large Dé 1\large\setminus{ Dé 2} & 1& 2& 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
1 & (4) & (6)&( 8 )&( 10 )&( 12 )&( 14 )\\ \hline
2 & (6 ) &( 8)&( 10 )&( 12 )&( 14 )&( 16) \\ \hline
3 & (8 ) &( 10 )&( 12)& (14 )&( 16 )&( 18 )\\ \hline
4 & (5) &( 12 )&( 14)& (16 )&( 18 )&( 20 ) \\ \hline
5 & (12 ) &( 14 )&( 16) & (18 )&( 20 )&( 22 ) \\ \hline
6 & (14 ) &( 16 )&( 18) & (20 )&( 22 )&( 24 ) \\ \hline
\end{array}$$

$$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 & 22 & 24\\ \hline
P(2X=x) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \\
\hline

\end{array}$$


$Y(\Omega)=\{0;1;2;3;4;5\}$

Voici le tableau des différences possibles $($ en valeur absolue $)$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\large Dé~ 1\large\setminus{ Dé ~2} & 1& 2& 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
1 & (0) & (1)&( 2 )&( 3)&( 4 )&( 5 )\\ \hline
2 & (1 ) &( 2)&( 3 )&( 4 )&( 5 )&( 0) \\ \hline
3 & (2) &( 3 )&( 4)& (5 )&( 0 )&( 1 )\\ \hline
4 & (3) &( 4 )&( 5)& (0 )&( 1 )&( 2 ) \\ \hline
5 & (4 ) &( 5 )&( 0) & ( 1)&( 2 )&( 3 ) \\ \hline
6 & (5 ) &( 0 )&( 1) & (2 )&( 3 )&( 4 ) \\ \hline
\end{array}$$