Probabilité – Spécialité mathématiquesSpécialité mathématiques

Rappel de cours

1-Probabilités conditionnelles

Soit $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A)\neq0$ . La probabilité conditionnelle de l’événement $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ , est définie par

$P_A(B)=\frac{P(A\cap B) }{P(A)}$

2-Arbre pondéré

3-Dépendance et indépendance

Définition : On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P_A(B) = P(B)$ .
”Savoir que l’événement $A$ est arrivé ne change pas la probabilité de l’événement $B$ .”

Remarque :

Si $A$ et $B$ sont indépendants, on a aussi $P_B(A) = P(A)$ .
Ne pas confondre indépendance et incompatibilité $($ $A$ et $B$ sont incompatibles, ou disjoints, lorsque $A \cap B =∅$ . $)$

Propriété : Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

4-Schéma de Bernoulli-Loi binomiale

a- Loi de Bernoulli

Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées généralement sucés S et échec E, de probabilités p et 1 − p.

Définition : Une variable aléatoire de Bernoulli est à valeur dans {0; 1} et associée à une épreuve de Bernoulli.

La loi de probabilité est appelée loi de Bernoulli de paramètre p, $p \in ]0,1[$ .

$\begin{array} {|r|r|}\hline x_i & 0 & 1 \\ \hline P(X=x_i)& 1-p &p \\ \hline \end{array}$

Propriété : Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, on a $E(X) = p$ et $V (X) = p(1 − p)$ , et donc
$\sigma(X) = \sqrt{p(1 − p)}$ .

b-Loi binomiale

Définition : On appelle schéma de Bernoulli la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes

Définition : Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli constitué de $n$ épreuves ayant chacune une probabilité de succès égale à $p$ .

La variable aléatoire $X$ suit une loi appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , souvent noté $\mathscr{B} \left(n,p\right)$

Exemple

Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules noires. On tire 3 boules au hasard. Les 5 boules sont indiscernables au toucher et le tirage se fait avec remise. Les tirages sont identiques et indépendants. On a donc bien, dans ce cas, un schéma de Bernoulli.

On considère la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de boules blanches obtenues. La variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres n=3 $($ nombre d’épreuves $)$ et $p=\frac{3}{5}$ $($ probabilité d’obtenir une boule blanche lors d’une épreuve $)$ . On note $q=1-p=\frac{2}{5}$ .

Ce schéma peut être représenté par l’arbre suivant :

Grâce à l’arbre on voit que :

Il y’a un seule chemin correspondant à 3 succès $(~SSS~)$ .

La probabilité d’avoir 3 succès $($ c’est à dire 3 boules blanches $)$ est donc :

$P\left(X=3\right) =p\times p \times p=p^3=\left(\frac{3}{5}\right)^{3}=\frac{27}{125}$

Il y a 3 chemins qui correspondent à 2 succès $(~SSE~,~SES,~ ESS~)$ .

La probabilité d’obtenir 2 boules blanches est donc :

$P\left(X=2\right) =p \times p\times q+p\times q \times p+q\times p\times p=3p^2q=3\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\times \frac{2}{5}=\frac{54}{125}$

Il y a également 3 chemins qui correspondent à un unique succès $(SEE, EES, ESE)$ .

La probabilité d’obtenir une unique boule blanche est donc :

$P\left(X=1\right) = p \times q\times q+p \times p\times q+q \times p\times q=3pq^2=3\frac{3}{5}\times \left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{36}{125}$

Il y’a un seule chemin correspondant à 3 échecs $(~EEE~)$ .

La probabilité de n’avoir aucune boule blanche est donc :

$P\left(X=0\right) =q \times q \times q=q^3=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125}$

La loi de X est donc donnée par le tableau suivant :

$\begin{array} {|r|r|}\hline x_i &0& 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x_i)& \frac{27}{125} & \frac{54}{125} & \frac{36}{125} & \frac{8}{125} \\ \hline \end{array}$

On vérifie bien que : $\frac{27}{125}+\frac{54}{125}+\frac{36}{125}+\frac{8}{125}=1$

c-Coefficients binomiaux

Définition : On considère un arbre pondéré représentant une loi binomiale $\mathscr {B} \left(n ; p\right)$ . Le coefficient binomial $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ $($ lire $k$ parmi $n$ $)$ est le nombre de chemins qui correspondent à $k$ succès

Exemple

On reprend le même exemple que précédemment. On a vu, par exemple, qu’il y avait 3 chemins correspondant à 2 succès. On a donc $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=3$ .

Il y’a un seule chemin correspondant à 3 succès. On a donc $\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}=1$ .

Les deux autres coéfficient binomiaux sont : $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}=1$ et $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}=2$ .

Pour calculer un coefficient binomial à l’aide d’une calculatrice on utilise la commande nCr.

Théorème : Soit X une variable aléatoire de loi $\mathscr B \left(n ; p\right)$ . Pour tout entier k compris entre 0 et n :

$P\left(X=k\right)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$

$^{ Exemple :}$

On lance 7 fois une pièce équilibrée et on appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l’on obtient face.

X suit une loi binomiale de paramètres n=7 et $p=\frac{1}{2}$ .

La probabilité d’obtenir 3 fois face est :

$P\left(X=3\right) = \begin{pmatrix} 7 \\ 3\end{pmatrix}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{4}$

À l’aide d’une calculatrice on calcule le coefficient binomial $\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$ =35.

Donc : $P\left(X=3\right)=35\times \frac{1}{8}\times \frac{1}{16}=\frac{35}{128}$

Exercices type BAC

1) arbre pondéré, probabilité conditionnelle, loi binomiale.

Exercice 1

Exercice-1-proba-en

Corrigé de l’exercice 1

Exercice-1-proba-c-1

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2)Loi binomiale, probabilité conditionnelle, arbre pondéré.

Exercice 2

Exercice-2-proba-en

Corrigé de l’exercice 2

Exercice-2-proba-c

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3

Exercice 3

Exercice-3-proba-en

Corrigé de l’exercice 3

Exercice-3-proba-c

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4 Combinaison, variable aléatoire, loi binomiale

Exercice 4

Exercice-4-proba-en

Corrigé de l’exercice 4

Exercice-4-proba-c

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5 Arbre de probabilités, loi binomiale

Exercice 5

Exercice-5-proba-en

Corrigé de l’exercice 5

Exercice-5-proba-c

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6 Arbre de probabilités, variable aléatoire, loi binomiale

Exercice 6

Exercice-6-proba-en

Corrigé de l’exercice 6

Exercice-6-proba-c

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7 Arbre de probabilités, loi binomiale

Exercice 7

Exercice-Proba-7-en

Corrigé de l’exercice 7

Exercice-Proba-7-c

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8 Arbre de probabilité, suite géométrique auxiliaire, raisonnement par récurrence, limite d’une suite.

Exercice 8

Exercice-8-proba-e

Corrigé de l’exercice 8

Exercice-8-proba-c

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9 Arbre de probabilité, loi binomiale, Python

Exercice 9

Exercice-Proba-9-e

Indications pour l’exercice 9

Indications pour l'exercice 9.

Utiliser les données de l’énoncé pour calculer les probabilités à mettre sur les branches de l'arbre pondéré.
1. Calculer $P(A \cap R_2)$.
2. Utiliser la formule des probabilités totales pour calculer $P(R_2)$
3. Utiliser la formule de probabilités conditionnelles pour calculer $P_{R_2}(A)$.
1. Calculer $P(X=1)=P(R_1), P(X=2)=P(R_2)$ et $P(X=3)=P(R_3) $.
2. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice .
1. Reconnaître une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\frac{1}{6}$.
2. Que représente l'instruction seuil(0.9). Observez un tableau de valeur de $1-(\frac{5}{6})^n$.
  Vérifier avec le programme donné :