Primitives

Primitive d’une fonction: Une fonction F est une primitive sur un intervalle I de la fonction f si F est dérivable sur I et  F'=f.

 

Exemples

\bullet F:x\mapsto x^3 est une primitive sur \mathbb R de f:x\mapsto 3x^2
\bullet G:x\mapsto x^3+10 est aussi une primitive sur \mathbb R de
f:x\mapsto 3x^2

 Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors
l’ensemble des primitives de f est constitué des fonctions
F+C, où C est une constante réelle.

 

 

Propriété : f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I. Si F est une primitive de f et G est une primitive de g sur I alors :

  • F+G est une primitive de f + g,
  • \lambda F est une primitive de \lambda F avec \lambda réel.

Primitives des fonctions de référence.

Primitives des fonctions de la forme (v' \circ u) \times u'.

1- Montrer qu’une fonction est une primitive.

exercice_primitive-1-en

exercice_primitive-1-c

Télécharger ici l’énoncé et le corrigé de l’exercice 1

2- \textcolor{blue}{Une} primitive , \textcolor{blue}{les} primitives et \textcolor{blue}{la} primitive d’une fonction.

exercice_primitive-2-en

Exercice-2-prim-c

Télécharger ici l’énoncé et le corrigé de l’exercice 2

Équations différentielles

Equation différentielle y' = ay

Soit a un réel fixé
L’équation différentielle y' = ay sur ℝ admet pour solutions les fonctions f définies par : f(x) = Ce^{ax} (où C est une constante réelle), et ce sont les seules solutions.

Exemple

Les solutions de l’équation différentielle y' = 5y sur ℝ sont les fonctions f définies par : f(x) = Ce^{5x} (où C est une constante réelle).

Equation différentielle y' = ay+h

Soit a un réel fixé et h une fonction donnée.
Les solutions de l’équation différentielle y' = ay+h sur \mathbb R s’obtiennent en déterminant une solution particulière de cette équation, et en lui ajoutant les solutions de l’équation différentielle y' = ay.

Exemple

On considère l’équation différentielle (E): y' -2y=3e^{-x} sur \mathbb R.

  1. Déterminer le réel \alpha pour que la fonction g définie sur \mathbb R par g(x) = \alpha e^{- x} soit une solution particulière de l’équation (E).
  2. Montrer que f est solution de (E) équivaut à f - g solution de (E’): y'=2y.
  3. En déduire les solutions de (E).
Solution
  1. On a:g est solution de (E) si et seulement si g'(x)-2g(x)- 3e^{- x}=0 soit -\alpha e^{- x} -2\alpha e^{- x}-3e^{- x}=0
    On factorise par e^{- x} on obtient -(3\alpha+3)e^{- x}=0 comme e^{- x}\neq 0 alors 3\alpha+3=0 donc \alpha=-1. Donc g : x\mapsto - e^{- x} est une solution particulière de l’équation (E).

  2. f est solution de (E) si et seulement si f'(x)-2f(x)=3e^{- x}
    si et seulement si f'(x)-2f(x)=g'(x)-2g(x)
    si et seulement si f'(x)-g'(x)=2(f(x)-g(x))
    si et seulement si f - g solution de (E’): y' = 2y.

  3. Or les solutions de y' = 2y sont les fonctions Ce^{2x} (où C est un réel quelconque).
    Par conséquent: f(x)-g(x)=Ce^{2x} (où C est un réel quelconque)
    Et par là: f(x)=g(x)+Ce^{2x}
    Donc les fonctions f(x)= -e^{- x}+Ce^{3x} (où C est un réel quelconque) sont les solutions de (E).
Cas particulier : la fonction h est constante égale à b

Equation différentielle y' = ay+b

Où a et b sont des réels fixés.
L’équation différentielle y' = ay+b sur \mathbb R admet pour solution les fonctions f définies par f(x)= Ce^{ax}-\frac{b}{a}.

Exercice 3

On considère l’équation différentielle (E): y' =y+2-2x sur \mathbb R.

  1. Proposer une fonction g définie sur \mathbb R qui est solution de l’équation (E).
  2. Montrer que f est solution de l’équation (E) si et seulement si f - g est solution de l’équation (E’): y'=y.
  3. En déduire les solutions de l’équation (E).

  1. On note que (E) l’équation différentielle: y'-y=2-2x
    La fonction définie sur \mathbb R par g(x)=2x est solution de (E).
    En effet : g'(x)-g(x)=2-2x

  2. f est solution de (E) si et seulement si f'(x)=f(x)+2 - 2x
    si et seulement si f'(x)-f(x)=2-2x
    si et seulement si f'(x)-f(x)=g'(x)-g(x)
    si et seulement si f'(x)-g'(x)=f(x)-g(x)
    si et seulement si \left(f(x)-g(x)\right)'=f(x)-g(x)
    si et seulement si f - g solution de (E’): y' = y.

  3. Or les solutions de y' = y sont les fonctions Ce^{x} ( où C est une constante réelle quelconque ).
    Par conséquent: f(x)-g(x)=Ce^{x} ( avec C \in \mathbb R )
    Par suite : f(x)=g(x)+Ce^{x}
    Donc les fonctions f(x)= 2x+Ce^{x} ( avec C est une constante réelle quelconque) sont les solutions de (E).

Exercice 4

Équation avec une condition initiale:L’équation différentielle y'+ay=b admet une unique solution f définie sur \mathbb R et telle que f(x_0)=y_0.
1-
a)Résoudre l’équation y'+3y=12.
b) Déterminer la fonction solution qui vérifie de plus f(0)=1.
2- Soit (E) l’équation différentielle 2y'+y=2.
a) Résoudre (E).
b) Déterminer la solution de (E) qui vérifie f(0)=0.
1-
a) D’après le cours l’équation différentielle y'=-3y+12 sur \mathbb R admet pour solution les fonctions f définies par f(x)= Ce^{-3x}-\frac{12}{-3} soit f(x)= Ce^{-3x}+4 où C\in \mathbb R.
b) f(0)=1 équivaut à Ce^{0}+4=1 soit C=-3 donc la solution de (E) qui vérifie f(0)=1 est y=f(x)=-3e^{-3x}+4.
2-
a) l’équation différentielle s’écrit y'=-\frac{1}{2}y+1 sur \mathbb R. D’après le cours cette équation admet pour solution les fonctions f définies par f(x)= Ce^{-\frac{1}{2}x}-\frac{1}{-\frac{1}{2}} soit f(x)= Ce^{-\frac{1}{2}x}+2 où C\in \mathbb R.
b) f(0)=0 équivaut à Ce^{0}+2=0 soit C=-2 donc la solution de (E) qui vérifie f(0)=0 est y=-2e^{-\frac{1}{2}x}+2=2\left(1-e^{-\frac{1}{2}x}\right).

Exercice 5 ( Amérique du Sud novembre 2008 )

  1. Résoudre l’équation différentielle :

        \[2y' + y = 0 \quad (\text{E}),\]

    dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable sur \mathbb R.
  2. On considère l’équation différentielle :

        \[2y' + y = \text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1) \quad (\text{E}')\]

    1. Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur \mathbb R par :

          \[f(x) = \text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(mx^2 + px\right)~ \text{soit solution de (E}').\]

    2. Soit g une fonction définie et dérivable sur \mathbb R. Montrer que g est solution de l’équation (E') si et seulement si g - f est solution de l’équation (E). Résoudre l’équation (E').
  1. D’après le cours cette équation a pour solutions les fonctions : x \longmapsto C_1\text{e}^{-\frac{x}{2}},~C_1 \in \mathbb R.

  2.     \[2y' + y = \text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1) \quad (\text{E}')\]

    1. f(x) = \text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(mx^2 + px\right) : f est un produit de fonctions dérivables sur \mathbb R, elle est donc dérivable sur \mathbb R et

          \[f'(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(mx^2 + px\right) + (2mx + p)\text{e}^{- \frac{x}{2}}\]

      f est solution de E' si et seulement si 2f' + f = \text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1) \iff -\text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(mx^2 + px\right) + 2(2mx + p)\text{e}^{- \frac{x}{2}} + \text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(mx^2 + px\right) = \text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1) \iff -mx^2 - px + 4mx + 2p + mx^2 + px = x + 1 \iff 4mx + 2p = x + 1 \iff (4m - 1)x + (2p - 1) = 0. Cette fonction affine est nulle si et seulement si 4m - 1 = 0 et 2p - 1 = 0, soit si m = \dfrac{1}{4} et p = \dfrac{1}{2}.
    2. On a : g et f solutions de E' si et seulement si \left\{\begin{array}{l c l} 2g' + g&=&\text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1)\\ 2f' + f&=&\text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1) \end{array}\right. par différence des 2 équations du système on obtient : \left\{\begin{array}{l c l} 2g' + g&=&\text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1)\\ 2(g' - f') + g - f &=& 0 \end{array}\right. Donc g est solution de l’équation (E') si et seulement si g - f est solution de l’équation (E) %Résoudre l’équation (E'). On a donc g(x) - f(x) = \dfrac{\text{e}^{- \frac{x}{2}}}{4}\left(x^2 + 2x\right) d’où g(x) = \dfrac{\text{e}^{- \frac{x}{2}}}{4}\left(x^2 + 2x + C_2\right), C_2 \in \mathbb R.