Primitive d’une fonction: Une fonction ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Exemples
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Si ![]() ![]() ![]() l’ensemble des primitives de ![]() ![]() ![]() |
Propriété :
|
Primitives des fonctions de référence.
Primitives des fonctions de la forme .
1- Montrer qu’une fonction est une primitive.
Télécharger ici l’énoncé et le corrigé de l’exercice 1
2- primitive ,
primitives et
primitive d’une fonction.
Télécharger ici l’énoncé et le corrigé de l’exercice 2
Équations différentielles
Equation différentielle
Soit un réel fixé
L’équation différentielle sur ℝ admet pour solutions les fonctions
définies par :
(où
est une constante réelle), et ce sont les seules solutions.
Exemple
Les solutions de l’équation différentielle sur
sont les fonctions
définies par :
(où
est une constante réelle).
Equation différentielle
Soit un réel fixé et
une fonction donnée.
Les solutions de l’équation différentielle sur
s’obtiennent en déterminant une solution particulière de cette équation, et en lui ajoutant les solutions de l’équation différentielle
.
Exemple
On considère l’équation différentielle (E): sur
.
-
Déterminer le réel
pour que la fonction
définie sur
par
soit une solution particulière de l’équation (E).
- Montrer que
est solution de (E) équivaut à
solution de (E’):
.
- En déduire les solutions de (E).
Solution
-
On a:
est solution de (E) si et seulement si
soit
On factorise paron obtient
comme
alors
donc
. Donc
est une solution particulière de l’équation (E).
est solution de (E) si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement sisolution de (E’):
.
- Or les solutions de
sont les fonctions
(où C est un réel quelconque).
Par conséquent:(où C est un réel quelconque)
Et par là:
Donc les fonctions(où C est un réel quelconque) sont les solutions de (E).

Equation différentielle
Où et
sont des réels fixés.
L’équation différentielle sur
admet pour solution les fonctions
définies par
.
Exercice 3
On considère l’équation différentielle (E): sur
.
-
Proposer une fonction
définie sur
qui est solution de l’équation (E).
- Montrer que
est solution de l’équation (E) si et seulement si
est solution de l’équation (E’):
.
- En déduire les solutions de l’équation (E).
- On note que (E) l’équation différentielle:
La fonction définie surpar
est solution de (E).
En effet : est solution de (E) si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement sisolution de (E’):
.
- Or les solutions de
sont les fonctions
où
est une constante réelle quelconque
.
Par conséquent:avec
Par suite :
Donc les fonctionsavec
est une constante réelle quelconque) sont les solutions de (E).
Exercice 4




1-
a)Résoudre l’équation

b) Déterminer la fonction solution qui vérifie de plus

2- Soit


a) Résoudre

b) Déterminer la solution de


a) D’après le cours l’équation différentielle






b)





2-
a) l’équation différentielle s’écrit






b)





Exercice 5
Amérique du Sud novembre 2008 
- Résoudre l’équation différentielle :
.
On considère l’équation différentielle :
- Déterminer deux réels
et
tels que la fonction
définie sur
par :
- Soit
une fonction définie et dérivable sur
. Montrer que
est solution de l’équation (E
) si et seulement si
est solution de l’équation (E). Résoudre l’équation (E
).
- D’après le cours cette équation a pour solutions les fonctions :
.
-
-
:
est un produit de fonctions dérivables sur
, elle est donc dérivable sur
et
est solution de E
si et seulement si
Cette fonction affine est nulle si et seulement si
et
, soit si
et
.
-
On a :
et
solutions de E
si et seulement si
par différence des 2 équations du système on obtient :
Donc
est solution de l’équation (E
) si et seulement si
est solution de l’équation (E) %Résoudre l’équation (E
). On a donc
d’où
-