Programmer en Python en spécialité maths

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Taper ou copier et coller ici l'instruction de couleur rouge de l'aide mémoire ci-dessous pour la tester

Aide mémoire des instructions de bases de Python

Instruction	Syntaxe
Saisie d'une variable	C=input("C=") si la variable C est une chaîne de caractère. F=float(input("F=")) si la variable F est un flottant $($ décimale $)$ E=int(input("E=")) si la variable E est un entier
Affichage	print X affiche le contenu de la variable X print "Ceci est une chaîne de caractère" affiche un texte print "la valeur de X est ",X affiche texte et variable :
Affectation	Y=X affecte la valeur de X à la variable Y
Commentaires	Une ligne de commentaire doit être précédée par le signe #
Boucle for	for i in range(n) : $\qquad $ bloc d'instructions La variable i parcourt tous les entiers de 0 à n-1 le bloc d'instructions est donc répétée n fois Le décalage vers la droite $($ indentation $)$ indique que les instructions font partie de la boucle for.
Boucle while (Tant que)	while condition : $\qquad $ bloc d'instructions Le décalage vers la droite $($ indentation $)$ indique que les instructions font partie de la boucle while.
Fonctions	Def calcul(x,y, z,$\cdots$ ): $\qquad $ instructions $\cdots$ s=$\cdots$ $\qquad $ return(s) $\\$ x,y,z,$\cdots$ sont les arguments de la fonction calcul. On peut aussi retourner plusieurs valeurs : return(s,r,u,$\cdots$ ). Respecter l'indentation.
Test	X==Y $($ égal $)$ X!=Y $($ différent $)$ X>Y $($ strictement supérieur $)$ X < Y $($ strictement inférieur $)$ X>=Y $($ supérieur ou égal $)$ X<=Y $($ inférieur ou égal $)$
Si	if condition 1 : $\qquad $ bloc d'instruction 1 elif condition 2 : $\qquad $ bloc d' instruction 2 else : $\qquad $bloc d' instruction 3 Le décalage vers la droite indique que les instructions font partie de la structure conditionnelle.
Opérations élémentaires	addition + soustraction - multiplication * puissance ** division / reste de division entière % exemple 5%2 donne 1 quotient de division entière // Exemple 5//2 donne 2
Utiliser les fonctions mathématiques.	from math import * à mettre au début du programme pour importer le module math qui contient les définitions de nombreuses fonctions mathématiques telles que sqrt ,exp ,sin, cos , tan , pi ... Exemple de site qui donne des fonctions pythons

Suites avec Python

Exercice1

On place un capital de 1000€ sur un compte rémunéré à 4% par an.
Ecrire un programme Python qui calcule le nombre d’années au bout
desquelles le capital sera doublé.

Corrigé de l’exercice 1

Le capital doublera au bout de 18 ans.

Exercice 2

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in \mathbb N$ , $u_n=2\sqrt{n}+2$ .

Ecrire un programme langage Python permettant de calculer pour un $n$ donné la valeur de $u_n$ . Afficher les termes $u_0$ à $u_{100}$

Corrigé de l’exercice 2

Vous pouvez modifier le programme et l’exécuter en cliquant sur run. Vous pouvez afficher uniquement les termes avec print(u(k)).

Exercice 3

Ecrire un programme Python qui calcule les termes de la suite $(u_n)$ définie par l’expression

$u_n=\frac{5n^2-3}{n^2+7}$ . Afficher en particulier les termes $u_{10},~ u_{100}$ et $u_{1000}$

Qu’observe-t-on pour des valeurs de plus en plus grandes de n ?

Corrigé de l’exercice 3

On remarque que pour des valeurs de plus en plus grandes de n, les termes de la suite $u_n$ se rapprochent de 5.

Exercice 4

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=10500$ et pour tout $n \in \mathbb N$ , $u_{n+1}=0,99u_n+150$ .

On admet que la suite $u_n$ est positive et croissante voir $($ exercice 6 $)$

Ecrire un programme langage Python qui donne la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $u_n$ dépasse 12000.

Corrigé de l’exercice 4

Le programme affiche la valeur de n=41. Vous pouvez modifier le programme pour afficher la valeur de $u_n$ correspondante en utilisant print(n,u(n) ) à l’extérieur de la boucle while ou bien afficher toutes les valeurs de $u_n$ avec print(n,u(n) ) à l’interieur de la boucle.

Exercice 5

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\frac{n+3}{3n+5}u_n$ .

On admet que cette suite est positive et tend vers 0. Ecrire un programme Python qui affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $0 \leq u_n \leq 10^{-3}$ .

Corrigé de l’exercice 5

Les termes de la suites sont positifs, le programme commence le calcule de ces termes par u=1, et continue tant que $u > 0,001$ et s’arrête lorsque le terme u devient inférieur ou égal à 0,001 et renvoie le rang N correspondant.

Afficher les termes de la suite avec l’instruction :

                    print " n =",n,"u=",u

à l’intérieur de la boucle while pour voir que u diminue jusqu’à devenir $\leq 0,001$ .

Exercice 6

On considère la suite définie par : pour tout entier naturel $n$ , $u_n=400 \times 1,02^n$ .

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout naturel $n$ .
Donner le sens de variation de $(u_n)$ ainsi que sa limite.
Ecrire un programme en Python permettant de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}>600$ . Afficher la valeur de $n_0$

Corrigé de l’exercice 6

Pour tout naturel $n$ : $u_n=400 \times 1,02^n$ .
On reconnaît ici la formule explicite donnant le terme de rang $n$ d’une suite géométrique de raison 1,02 de premier terme $u_0=400$ . Par conséquent, on a la formule de récurence suivante : pour tout naturel $n$ : $u_{n+1}=1,02×u_n$ .
Comme $1,02 > 1$ , alors la suite $(1,02^n)$ est strictement croissante. Et comme $400 > 0$ , la suite $(u_n)$ est également strictement croissante. Par ailleurs: Comme $1,02>1$ , on a: $\lim\limits_{n \to +\infty}(1,02^n)=+\infty$ Or $400>0$ . Donc $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$
Deux algorithmes possibles :

Un premier algorithme qui utilise la formule de récurrence, la variable N contient la valeur $n_0$ cherchée :

Un deuxième algorithme qui utilise la formule explicite :

Exercice 7 $($ 12 minutes $)$ 1,2 points

On considère la suite $($ u_n $)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{u_n+1}$ .

Recopier le script python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel k et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $($ u_n $)$ de $u_0$ à $u_k$ .

Corrigé de l’exercice 7

Avec l’istruction print liste(5) afficher une liste de 6 premiers termes de la suite $(u_n)$ . Vérifier que les termes de $(u_n)$ sont les inverses des entiers naturels non nuls.

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