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Fonctions avec Python

Exercice 12 $($ 30 min $)$ 4 points.

Un groupe de scientifiques étudie le nombre de poissons qui vivent dans un étang. Après plusieurs études de terrain, ils modélisent ce nombre par la fonction $P$ , définie sur $\left[0 ;+\infty\right.$ [ par $P(t)=\frac{1000}{0,4+3,6 \mathrm{e}^{-0.5 t}}$ , où $t$ est le temps, mesuré en année, écoulé depuis le $1^{\text {er }}$ janvier $2022 .$ \
On note $\mathscr{C}_{P}$ la courbe représentative de la fonction $P$ dans un repère.

Combien y avait-il de poissons au $1^{\text {er }}$ janvier 2022 ?
Calculer $P^{\prime}(t)$ pour tout réel $t$ positif. En déduire le sens de variation de la fonction $P$ sur $[0 ;+\infty[$ .
Déterminer la limite de $P$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ . Interpréter graphiquement cette limite.
Interpréter dans le contexte de l’exercice la limite trouvée à la question $3 .$
Justifier que le nombre de poissons va dépasser 2000 individus lors d’une certaine année.
1. Compléter la fonction Python ci-dessous afin qu’elle renvoie l’année à partir de laquelle le nombre de poissons va dépasser 2000 individus.
2. Quelle année trouve-t-on?

Corrigé de l’exercice 12

Exercice 13

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\frac{2}{x}+2\frac{\ln x}{x}$ . On admet que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$ . On donne l’algorithme suivant:

< Exécuter pas à pas cet algorithme et compléter dans le tableau ci-dessous les valeurs prises successivement par les variCables $a$ , $b$ et $m$ .

Que représentent les variables $a$ et $b$ lors de la fin de l’exécution?
On admet que l’équation $f(x)=1$ admet une deuxième unique solution $\beta$ dans l’intervalle $[5;6]$ et que $f$ est décroissante sur cette intervalle. Modifier le programme ci-dessous pour que les valeurs $a$ et $b$ en fin d’exécution du programme soient les deux bornes d’un encadrement de $\beta$ d’amplitude $10^{-3}$ .

Corrigé 13

Tableau complété:

L’exécution donne les valeurs affectés par cet algorithme aux variables $a$ et $b$ qui représentent les extrémités des intervalles emboités , encadrant par la méthode de dichotomie, la valeur de $\alpha$ jusqu’à obtenir un intervalle d’amplitude $10^{-1}$ .
pour obtenir un encadrement de $\beta$ , il suffit de modifier les valeurs d’initialisation de $a$ et $b$ par $a=5$ $b=6$ , de modifier la condition while par $b-a > 0,001$ et comme la $f$ est décroissante remplacer la condition du if par $f(m)>1$ ou bien inverser les rôles de $a$ et $b$ .

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Exercice 12 30 min 4 points.

Exercice 13

Une réponse à python

Exercice 12 $($ 30 min $)$ 4 points.