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Probabilités avec Python

Exercice 8

Une roue de loterie est formée de 10 cases : 2 cases rouges et 8 cases noires. Si on obtient une case rouge, on gagne 5 €, sinon on perd 1 €. X est la variable aléatoire qui donne le gain du joueur.

Déterminer la loi de probabilité de X
Écrire en langage Python :

une fonction Gain qui simule la variable aléatoire X ;
une fonction Moyenne qui calcule et renvoie pour résultat la moyenne d’un échantillon de taille n de X.

c. Tester ces deux fonctions.

Corrigé de l’exercice 8

a. $P(X=5)=\frac{2}{10}=0,2$ et $P(X=-1)=\frac{8}{10}=0,8$

b. Voici les fonctions Gain et Moyenne écrites en langage Python.

c. Test : La fonction Gain() affiche 5 ou -1 et pour la fonction Moyenne on a pris l’exemple d’un échantillon de taille 1000.

Exercice 9

On dispose d’un de équilibré à 6 faces et de deux urnes : l’urne $U_1$ contient deux boules vertes et 3 rouges, et l’urne $U_2$ contient 1 boule verte et deux rouges. On lance le dé et si le résultat est 1 ou 2 alors on tire une boule dans l’urne $U_1$ , sinon on tire dans l’urne $U_2$ . On considère que la partie est gagnante si on tire une boule verte.

Écrire un algorithme en Python permettant de simuler cette partie.
Modifier cet algorithme pour qu’il simule n parties et compte le nombre de parties gagnantes.

Corrigé de l’exercice 9

Programme Python pour simuler une partie

2. Programme Python pour simuler une partie

Exercice 10

On lance un dé à six face non truqué 7 fois de suite. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de « 6 » obtenus. X suit une loi binomiale de paramètres $n=7$ et $p=\frac{1}{6}$ .

On a alors pour k entier et $0 \leq k \leq n$ la probabilité:

$P\left(X=k\right)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$

Ecrire un programme python qui calcule la valeur de $P(X \leq k)$ . Quelle est la probabilité d’obtenir au plus un 6 en lançant le dé 7 fois de suite..

Méthode : Créer une première fonction binomiale1 avec 3 arguments $n,k,p$ qui calcule P(X=k) avec la formule donnée, ensuite une deuxième fonction binomiale2 qui appelle les résultats de la première fonction et calcule leur somme $($ $P(X=0)+ P(X=1)+...+ P(X=k)$ $)$ .

Corrigé de l’exercice 10

La probabilité d’obtenir au plus un 6 c’est la probabilité de l’événement » obtenir zero 6 OU un seule 6 « . On cherche $P(X=0)+P(X=1)= P\left(X \leq 1\right)$ . Le programme donne $P\left(X \leq 1\right) \approx{0,6698}$

Execice 11 (Question bac 2022)

Le programme ci-dessous utilise la fonction binomiale(k,n,p) qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X=k)$ dans le cas où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .