Fonctions

Rappel de cours sur les fonctions

1. Limites de fonctions

1.Limites de fonctions

a.Limites de référence en $+\infty$ et $-\infty$

Limites infinies	Limites finies
$\lim\limits_{ x \to +\infty}x=+\infty$ $\lim\limits_{ x \to +\infty}x^2=+\infty$ $\lim\limits_{ x \to +\infty}x^n=+\infty$ avec $~n \in \mathbb{N^}$ $\lim\limits_{ x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$ $\lim\limits_{ x \to -\infty}x=-\infty$ $\lim\limits_{ x \to -\infty}x^{2p+1}=-\infty$ avec $p\in \mathbb N$ $\lim\limits_{ x \to -\infty}x^{2p}=+\infty$ avec $p\in \mathbb N^$	$\lim\limits_{ x \to +\infty}\frac{1}{x}=\lim\limits_{x \to-\infty}\frac{1}{x}=0$ $\lim\limits_{ x \to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{1}{x^2}=0$ $\lim\limits_{ x \to +\infty}\frac{1}{x^n}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{1}{x^n}=0 ~ (avec ~n\in \mathbb{N^*})$ $\lim\limits_{ x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$

Limites infinies	Limites finies
$\lim\limits_{ x \to +\infty}e^x=+\infty$ $\lim\limits_{ x \to +\infty}{e^x}{x}=+\infty$ $\lim\limits_{ x \to +\infty}{e^x}{x^n}=+\infty (pour ~~n\in \mathbb{N})$	$\lim\limits_{ x \to -\infty}e^x=0~~et~~\lim\limits_{ x \to -\infty}xe^x=0$ $\lim\limits_{ x \to -\infty}x^n e^x=0~~(pour n\in \mathbb{N})$

b.Limite de référence en $0$

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty

$\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$

lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty

$\lim\limits_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$

lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} = + \infty

$\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty$

Dérivée en 0 des fonctions $\textcolor{red}{x: \mapsto e^x}~~$ et $~\textcolor{blue}{x \mapsto \sin x}$
$\textcolor{red}{\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1}~~~~~$ et

$~\textcolor{blue}{\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1}$

c. Limites et inégalités

Si $\lim\limits_{ x \to +\infty}f(x)=+\infty$ et si, pour $x$ assez grand, $g(x)≥f(x)$ ,alors $\lim\limits_{ x \to +\infty}g(x)=+\infty$ .

Si $\lim\limits_{ x \to +\infty}f(x)=-\infty$ et si, pour $x$ assez grand, $g(x)\leq f(x)$ ,

alors $\lim\limits_{ x \to +\infty}g(x)=-\infty$ .

Ces deux propriétés s’étendent pour des limites en $-\infty$ ou en un réel $a$ .

Si $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\ell$ et si
$\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=\ell$ et si, pour x assez grand, f(x)≤h(x)≤g(x),
alors $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)=\ell$ . Cette propriété s’étend est valable pour des limites en $−\infty$ ou en un réel $a$ .

2.Continuité

Définition : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I. Soit $a$ dans I.
$f$ est continue en $a$ si et seulement si

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

$\lim\limits_{x \to a}f(x)=f(a)$ .

f

$f$ est continue sur I si et seulement si

f

$f$ est continue en tout nombre

a

$a$ de I.

Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f fonction définie sur I et a et b éléments de I.
Si f est continue sur I alors : pour tout réel k compris entre f (a) et f (b),

il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que : f (c) = k

Autrement dit :
toutes « les valeurs intermédiaires » entre les deux images sont atteintes.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Soit $f$ définie sur $[ a ; b ]$
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[ a ; b ]$ alors :
pour tout réel $\lambda$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l’équation $f (x) = k$ possède une et une seule solution sur l’intervalle $[ a ; b ]$ .

Remarque :

Ce corollaire peut être étendu à tout type d’intervalle.
Dans le cas de bornes ouvertes ou infinies, il faut alors remplacer les images de $a$ et de $b$ par les limites de $f$ aux bornes de l’intervalle.

Exemple : Soit la fonction $f : x \mapsto x^3+2x+1$ définie sur $\mathbb{R}$ . On a $f$ est dérivable et sa dérivée $f'(x)=3x^2+2$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ est strictement croissante. On a $f(-1)=-2$ et $f(0)=1$ . Comme $0 \in ]-2, +1[$ l’équation $<em>f</em> (x) = 0$ possède une et une seule solution dans l’intervalle ]-1,0[.

3.Complément sur la dérivée

a. Dérivée d’une fonction composée

Théorème : Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $\mathbb R$ ,
et $f=u\circ v$ , c’est-à-dire, pour tout $x\in\mathbb R$ , $f(x)=u( v(x))$ . Alors $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ avec, $f'=v'\times u'\circ v$ ,
c’est-à-dire pour tout $x\in\mathbb R$ , $f'(x)=v'(x)\times u'( v(x))$ .

Exemple :
Soit $f(x)=(x^3+1)^{10}$ . Alors $f=u\circ v$ , avec $u(x)=x^{10}$ et $v(x)=x^3+1. On a alors$ f'(x)=v'(x)\times u'(v(x))=3x^2 \times 10(x^3+1)^9 =30x^2(x^3+1)^9.

b-Convexité

Définition : Une fonction dérivable sur un intervalle I est convexe si et seulement si
sa courbe est entièrement située au dessus de chacune de ses tangente. Une fonction dérivable sur un intervalle I est concave si et seulement si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

Exemple :

La fonction $f$ représenter ci-dessous est dérivable sur $\mathbb R$ , sa courbe est traversée par la tangente en

x = 1

$x=1$ .
On voit graphiquement que $f$ est concave sur

] - \infty; 1]

$]-\infty;1]$ et convexe sur

[1, + \infty [

$[1,+\infty[$ . Convexité

Propriété : Soit $f$ une fonction dérivable deux fois sur un intervalle ]a;b[.
Si $f'~'≥0$ sur $]a;b[$ , alors f est convexe sur sur $]a;b[$ .
Si $f'~'≤0$ sur $]a;b[$ , alors $f$ est concave sur sur $]a;b[$ .
Cette propriété est valable si $a=−\infty$ ou $b=+\infty$ .

Un point d’inflexion caractérise un changement de convexité de la courbe représentative d’une fonction continue . En un ce point, la tangente traverse la courbe.

Propriété : Soit $f$ une fonction dérivable deux fois sur un intervalle $]a;b[$ .
Si $f'~'$ s’annule en $x=a$ en changeant de signe, alors le point $I(a;f(a))$ est un point d’inflexion de la courbe représentative $f$ .

4. Logarithme népérien

Définition : La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ qui,à tout réel strictement positif associe l’unique solution de l’équation d’inconnu $t$ , $e^t=b$ . Ainsi, pour tout réel $b > 0$ et pour tout réel $a$ , $a=\ln (b) \iff e^a=b$ . Ce qui donne en particulier: $\ln(1)=0$ ,et $\ln(e)=1$ .

Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions $\color{blue}{ \ln : x \mapsto \ln(x)}$ et $\color{red} {\exp: x \mapsto exp(x)=\color{red}e^x}$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation: $\color{green}{ y= x}$ .

Dérivée

La fonction $\ln$ admet pour dérivée $\ln'(x) =\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ .
Soit $u$ une fonction strictement positive sur un intervalle I. On a alors la dérivée : $(\ln(u))'= \frac{u'}{u}$