pytest

Corrigé de l’exercice 3

On remarque que pour des valeurs de plus en plus grandes de n, les termes de la suite $u_n$ se rapprochent de 5.

Exercice 4

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=10500$ et pour tout $n \in \mathbb N$ , $u_{n+1}=0,99u_n+150$ .

On admet que la suite $u_n$ est positive et croissante voir $($ exercice 6 $)$

Ecrire un programme langage Python qui donne la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $u_n$ dépasse 12000.

Corrigé de l’exercice 4

Le programme affiche la valeur de n=41. Vous pouvez modifier le programme pour afficher la valeur de $u_n$ correspondante en utilisant print(n,u(n) ) à l’extérieur de la boucle while ou bien afficher toutes les valeurs de $u_n$ avec print(n,u(n) ) à l’interieur de la boucle.

Exercice 5

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\frac{n+3}{3n+5}u_n$ .

On admet que cette suite est positive et tend vers 0. Ecrire un programme Python qui affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $0 \leq u_n \leq 10^{-3}$ .

Corrigé de l’exercice 5

Les termes de la suites sont positifs, le programme commence le calcule de ces termes par u=1, et continue tant que $u > 0,001$ et s’arrête lorsque le terme u devient inférieur ou égal à 0,001 et renvoie le rang N correspondant.

Afficher les termes de la suite avec l’instruction :

                    print " n =",n,"u=",u

à l’intérieur de la boucle while pour voir que u diminue jusqu’à devenir $\leq 0,001$ .

Exercice 6

On considère la suite définie par : pour tout entier naturel $n$ , $u_n=400×1,02^n$ .

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout naturel $n$ .
Donner le sens de variation de $(u_n)$ ainsi que sa limite.
Ecrire un programme en Python permettant de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}>600$ . Afficher la valeur de $n_0$

Corrigé de l’exercice 6

Pour tout naturel $n$ : $u_n=400×1,02^n$ .
On reconnaît ici la formule explicite donnant le terme de rang $n$ d’une suite géométrique de raison 1,02 de premier terme $u_0=400$ . Par conséquent, on a la formule de récurence suivante : pour tout naturel $n$ : $u_{n+1}=1,02×u_n$ .
Comme $1,02 > 1$ , alors la suite $(1,02^n)$ est strictement croissante. Et comme $400 > 0$ , la suite $(u_n)$ est également strictement croissante. Par ailleurs: Comme $1,02>1$ , on a: $\lim\limits_{n \to +\infty}(1,02^n)=+\infty$ Or $400>0$ . Donc $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$
Deux algorithmes possibles :

Un premier algorithme qui utilise la formule de récurrence, la variable N contient la valeur $n_0$ cherchée :

Un deuxième algorithme qui utilise la formule explicite :

Exercice 7 $($ 12 minutes $)$ 1,2 points

On considère la suite $($ u_n $)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{u_n+1}$ .

Recopier le script python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel k et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $($ u_n $)$ de $u_0$ à $u_k$ .

Corrigé de l’exercice 7

Avec l’istruction print liste(5) afficher une liste de 6 premiers termes de la suite $(u_n)$ . Vérifier que les termes de $(u_n)$ sont les inverses des entiers naturels non nuls.

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Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7 12 minutes 1,2 points

Exercice 7 $($ 12 minutes $)$ 1,2 points