Arithmétique – Spécialité mathématiquesSpécialité mathématiques

1-Divisibilité

Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
On dit que $a$ divise $b$ lorsque il existe un entier relatif $k$ tel que $b=ka$ . On note $a|b$ .On dit aussi que $a$ est un diviseur de $b$ ,ou encore que $b$ est un multiple de $a$ .

2-Division euclidienne

Théorème : Soit $a$ un entier relatif et $b$ un entier naturel non nul.
Il existe alors un unique couple d’entiers relatifs $(q ;r)$ tels que

$a=bq+r\ , \text{ avec } 0\leqslant r<b$

3–Congruence

Définition  Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs et $n\geqslant2$ un entier naturel.
On dit que $a$ et $b$ sont congrus modulo $n$ lorsque $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par $n$ .
On note

$a\equiv b\, [n] \quad \text{ ou }\quad a\equiv b\mod n$

Corollaire
Tout nombre est congru à son reste dans la division euclidienne:

si $a=bq+r$ alors $a\equiv r\,[q]$  
$n$ est un diviseur de $a$ $\iff$ $a\equiv 0\,[n]$ ( $\iff a=qn+0$ )
Un nombre $a$ est pair $\iff$ si $a\equiv 0\,[2]$ $a$ est impair $\iff$ $a\equiv1\,[2]$
$a\equiv b\,[n] \iff a-b\equiv 0\,[n]$

Congruences et opérations

Il est important de savoir comment se comportent les opérations usuelles avec les congruences.

Soit $a$ , $b$ , $c$ et $d$ des entiers relatifs, et $n\geqslant2$ un entier naturel.
Si $a\equiv b\,[n]$ et $c\equiv d\,[n]$ alors

$a+c\equiv b+d\,[n]$
$a-c\equiv b-d\,[n]$
$ac\equiv bd\,[n]$  
$\forall p \in \mathbb N~~~~$ , $a^p\equiv b^p\,[n]$

Exercice

exercice
Soit $n$ un entier naturel. On pose $x=n(n^2+5)$
Montrer que est divisible par 3.

Corrigé

On raisonne par disjonction de cas repose sur la décomposition de $n$ en trois cas : $n = 3k$ , $n = 3k + 1$ , et $n = 3k + 2$ , où $k$ est un entier naturel.

- Si $n=3k$ , alors : $x=3k(9k^2+5)=3k',$ avec $k'=k(9k^2+5)$ qui est un entier naturel. On constate donc que $x$ est bien divisible par 3.
- Si $n=3k+1$ , alors : $x=(3k+1)(9k^2+6k+1+5)= (3k+1)(9k^2+6k+6)=$ $3(3k+1)(3k^2+2k+2)=3k'$ avec $k'=(3k+1)(3k^2+2k+2)$ qui est entier naturel. On constate donc que $x$ est bien divisible par 3.
- Si $n=3k+2$ , alors : $x=(3k+2)(9k^2+12k+4+5)=$ $(3k+1)(9k^2+12k+9)=3(3k+1)(3k^2+4k+3)=3k',$ avec $k'=(3k+1)(3k^2+4k+3)$ qui est un entier naturel. On constate donc que $x$ est bien divisible par 3.

On a donc montré que, dans tous les cas, $x$ est divisible par 3.