Ensemble et raisonement – Spécialité mathématiquesSpécialité mathématiques

Exercice 1

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$ . Pour $X\subset E$ , on note $X^c$ le complémentaire de $X$ dans $E$ . Démontrer les lois de Morgan suivantes : $X$ dans $E$ . Raisonner par double inclusion pour démontrer les lois de Morgan suivantes :

$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)&&\mathbf{2.}\ (A^c)^c=A\\ \mathbf{3.}\ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c&&\mathbf{4.}\ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c.\\ \end{array}$

Corrigé

Soit . Alors ( et ) ou . Si et , alors et , et l’inclusion est prouvée. Sinon, c’est que , et dans ce cas on a aussi et .
Récipoquement, si et , on distingue deux cas :
- Si $x\in C$ , alors $x\in (A\cap B)$ ou $x\in C$ et donc $x\in (A\cap B)\cup C$ .
- Sinon, $x\notin C$ . Mais alors, puisque $x\in A\cup C$ , on a $x\in A$ . De même, puisque $x\in B\cup C$ , on a $x\in B$ . Ceci prouve que $x\in A\cap B$ et donc $x\in (A\cap B)\cup C$ .
On suppose que $x\in (A^c)^c$ . Alors $x\notin A^c$ , et donc $x\in A$ . Réciproquement, si $x\in A$ , alors $x\notin A^c$ et donc $x\in (A^c)^c$ .
Soit $x\in(A\cap B)^c$ . Alors $x\notin A\cap B$ . On a donc $x\notin A$ ou $x\notin B$ , c’est-à-dire $x\in A^c$ ou $x\in B^c$ . On en déduit que $x\in A^c\cup B^c$ . Réciproquement, soit $x\in A^c\cup B^c$ . Alors $x\in A^c$ ou $x\in B^c$ , c’est-à-dire $x\notin A$ ou $x\notin B$ . En particulier, $x\notin A\cap B$ et donc $x\in(A\cap B)^c$ .
On peut présenter aussi les raisonnements précédents sous forme d’équivalence. C’est ce que l’on fait pour ce dernier exemple :
$\begin{eqnarray*} x\in (A\cup B)^c&\iff&x\notin A\cup B\\ &\iff&x\notin A\textrm{ et }x\notin B\\ &\iff&x\in A^c\textrm{ et }x\in B^c\\ &\iff&x\in A^c\cap B^c. \end{eqnarray*}$