Exercice 1
Soient , et trois parties d’un ensemble . Pour , on note le complémentaire de dans . Démontrer les lois de Morgan suivantes :
dans . Raisonner par double inclusion pour démontrer les lois de Morgan suivantes :
Corrigé
- Soit . Alors ( et ) ou . Si et , alors et , et l’inclusion est prouvée. Sinon, c’est que , et dans ce cas on a aussi et .
Récipoquement, si et , on distingue deux cas :- Si , alors ou et donc .
- Sinon, . Mais alors, puisque , on a . De même, puisque , on a . Ceci prouve que et donc .
- On suppose que . Alors , et donc . Réciproquement, si , alors et donc .
- Soit . Alors . On a donc ou , c’est-à-dire ou . On en déduit que . Réciproquement, soit . Alors ou , c’est-à-dire ou . En particulier, et donc .
- On peut présenter aussi les raisonnements précédents sous forme d’équivalence. C’est ce que l’on fait pour ce
dernier exemple :