Ensemble et raisonement

Exercice 1

Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E. Pour X\subset E, on note X^c le complémentaire de X dans E. Démontrer les lois de Morgan suivantes : X dans E. Raisonner par double inclusion pour démontrer les lois de Morgan suivantes :

    \[\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)&&\mathbf{2.}\ (A^c)^c=A\\ \mathbf{3.}\ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c&&\mathbf{4.}\ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c.\\ \end{array}\]

Corrigé

  1. Soit x\in (A\cap B)\cup C. Alors (x\in A et x\in B) ou x\in C. Si x\in A et x\in B, alors x\in A\cup C et x\in B\cup C, et l’inclusion est prouvée. Sinon, c’est que x\in C, et dans ce cas on a aussi x\in A\cup C et x\in B\cup C.
    Récipoquement, si x\in A\cup C et x\in B\cup C, on distingue deux cas :
    • Si x\in C, alors x\in (A\cap B) ou x\in C et donc x\in (A\cap B)\cup C.
    • Sinon, x\notin C. Mais alors, puisque x\in A\cup C, on a x\in A. De même, puisque x\in B\cup C, on a x\in B. Ceci prouve que x\in A\cap B et donc x\in (A\cap B)\cup C.
  2. On suppose que x\in (A^c)^c. Alors x\notin A^c, et donc x\in A. Réciproquement, si x\in A, alors x\notin A^c et donc x\in (A^c)^c.
  3. Soit x\in(A\cap B)^c. Alors x\notin A\cap B. On a donc x\notin A ou x\notin B, c’est-à-dire x\in A^c ou x\in B^c. On en déduit que x\in A^c\cup B^c. Réciproquement, soit x\in A^c\cup B^c. Alors x\in A^c ou x\in B^c, c’est-à-dire x\notin A ou x\notin B. En particulier, x\notin A\cap B et donc x\in(A\cap B)^c.
  4. On peut présenter aussi les raisonnements précédents sous forme d’équivalence. C’est ce que l’on fait pour ce dernier exemple :

        \begin{eqnarray*} x\in (A\cup B)^c&\iff&x\notin A\cup B\\ &\iff&x\notin A\textrm{ et }x\notin B\\ &\iff&x\in A^c\textrm{ et }x\in B^c\\ &\iff&x\in A^c\cap B^c. \end{eqnarray*}