Nombres complexes
Rappel de cours
\tableofcontents Le plan est rapport un repère orthonormal $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ \section{Forme algébrique d'un nombre complexe} \subsection{Définitions} \begin{itemize} \item L'ensemble des nombres de la forme $a+ib$, où $a$ et $b$ sont des réels et $i$ est tel que $i^2=-1$, est appelé ensemble des nombres complexes. On le note $\mathbb C$. Les propriétés des opérations addition et multiplication dans $\mathbb R$ se prolongent dans $\mathbb C$. \item L'écriture $z=a+ib$ est la forme algébrique du nombre complexe $z$. $a$ est la partie réelle de $z$, $b$ sa partie imaginaire. On note $Re(z)=a,\quad Im(z)=b$. $\mathbb R$ est une partie de $\mathbb C$, $\mathbb R$ contient les nombres complexes dont la partie imaginaire $b$ est nulle. \item Tout nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé nombre imaginaire pur. \end{itemize} \subsection{Somme, produit et inverse} Soient $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ deux nombres complexes. $\begin{array}{ccc} z+z'=(a+a')+i\,(b+b'),\quad & z\times z'=(aa'-bb')+i\,(ab'+a'b),\quad &(z\neq 0),\;\; \frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}. \end{array}$ \subsection{équation dans $\mathbb C$} Soit l'équation $\quad a\,z^2+b\,z+c=0 $ . où $a,b$ et $c$ sont des réels, $a$ non nul, $\;\;\Delta =b^2-4ac\quad\;$ est le discriminant. \begin{itemize} \item Si $\Delta=0\quad $ l'équation admet un unique solution :$\quad z=\frac{-b}{2a}$. \item Si $\Delta >0\quad $ l'équation admet deux solutions réelles :$\quad z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. \item Si $\Delta \lt 0\quad $ l'équation admet deux solutions complexes :$\quad z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. \end{itemize} \section{Interprétation géométrique d'un nombre complexe} \subsection{Définitions} %%\begin{minipage}{12cm} Soit M un point de coordonnées $(x;y)$. Le nombre complexe $z=x+i\,y$ est appelé affixe du point M. Le point M est appelé image du nombre complexe $z$. On note M$(z)$ le point d'affixe $z$. Remarques \begin{itemize} \item Le nombre complexe $z$ est aussi l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{OM}$. \item Le vecteur $ \overrightarrow{OM}$ est aussi l'image du nombre complexe $z$. \item Le plan muni du repère orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ est appelé plan complexe. \end{itemize} %Ici image bis \subsection{Somme et opposé} \begin{enumerate} \item Soit M et M' deux points d'affixe $z=x+i\,y$ et $z'=x'+i\,y'$.\\ Le point S défini par $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}$ a pour affixe $z+z'$. \item Le point P défini par $\overrightarrow{OP}=-\overrightarrow{OM}$ a pour affixe $-z$. \item l'affixe du vecteur $\overrightarrow{MM'}$ est $z'-z$. \end{enumerate} %\end{minipage} %lci image 2 \subsection{Module d'un nombre complexe} \subsubsection{Définition} Soit M un point du plan d'affixe $z$. On appelle module du nombre complexe $z$ la distance $OM$. On le note $ |z|=OM$. \subsubsection{Propriétés} Soit $M$ et $M'$ deux points d'affixes respectives les nombres complexes $z$ et $z'$ . \item Si $z=x+i\,y\quad $ alors $\;|z|=\sqrt{x^2+y^2}\;$ \item $|z|=\left|\overline{z}\right|,\quad z\times\overline{z}=x^2+y^2$ \item $\left|z\times z'\right|=|z|\times|z'|,\quad \left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|},\quad \left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|} $. \item$|z+z'|\leq |z|+|z'|$ \item $\left| z^n\right|=|z|^n,\quad n\;\;$ entier naturel. \item$MM'= \left| z'-z\right|$. \section{Forme trigonométrique d'un nombre complexe} \subsection{Définition d'un argument d'un nombre complexe} %%\begin{minipage}{12cm} Soit M un point d'affixe le nombre complexe $z\;$ non nul. On appelle argument de $z$ tous les réels $\theta$, mesure en radians de l'angle$ \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{OM}\right)$ .On note $arg(z)=\theta +2k\pi,\;\;\; k \in \mathbb Z\;\;$ ou $arg(z)=\theta \;\;\;[2\pi]\; ($ modulo $2\pi )$. Autrement dit, un nombre complexe non nul a une infinité d'arguments. Si $\theta$ est l'un d'entre eux, tout autre argument de $z$ s'écrit $ \theta +2k\pi.\;$\ On dit aussi qu'un argument de $z$ est défini modulo $\;2\pi$. %\end{minipage} %Ici image Remarque Le nombre complexe 0 n'a pas d'argument car la définition $\;arg(z)=\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{OM}\right);$ suppose $M\neq 0$. \subsection{Propriétés} \begin{enumerate} \item Si $z$ est un rel strictement positif alors $arg(z)=0 \quad [2\pi]$. \item Si $z$ est un rel strictement négatif alors $arg(z)=\pi \quad [2\pi]$. \item Si $z$ est un imaginaire pur non nul alors $arg(z)=\frac{\pi}{2} \quad [\pi]$. \item Si $arg(z)=\theta \quad [2\pi]\quad $ alors $arg(-z)=\theta+\pi \quad [2\pi]\quad $ \item Si $arg(z)=\theta \quad [2\pi]\quad $ alors $arg \left( \overline{z}\right) =-\theta \quad [2\pi] $. \end{enumerate} %ici image 3 \subsection{Définition de la forme trigonométrique d'un nombre complexe} %\begin{minipage}{12cm} Tout nombre complexe $z$ non nul, de module $r$ et dont un argument est $\theta$, peut s'écrire $ z=r\left(\cos(\theta)+i\,\sin(\theta) \right) .$\\ Cette écriture est appelé forme trigonométrique du nombre complexe $z$. \subsection{Formes trigonométrique et algébrique} Soit $z=x+i\,y$ un nombre complexe non nul.\\ On a $z=|z|\left( \cos(\theta)+i\,\sin(\theta)\right)\quad$ \\avec $\;\cos(\theta)=\frac{x}{x^2+y^2};\;$ et $\;\; \sin(\theta)=\frac{y}{x^2+y^2}\;\;$ . Réciproquement:\\ si $z=r\left( \cos(\theta)+i\,\sin(\theta)\right),\;\;r>0\quad$ alors $\;\;|z|=r\;\;$ et $\;\;arg(z)=\theta\;\;[2\pi]$. %%\end{minipage} Ici image 4 \subsection{L'argument du produit est égal à la somme des arguments.} Soit $z$ de module $r$ et d'argument $\theta$, $z'$ de module $r'$ et d'argument $\theta'$ deux nombres complexes non nuls. $$ arg(z\times z')=arg(z)+arg(z')$$. \subsection{Formule de Moivre.} Soit $z=r(\cos \theta+i\,\sin \theta)\;\;$ et $n$ un entier naturel. On a $z^n=r^n \left( \cos(n\,\theta)+i\,\sin(n\,\theta)\right)$. Autrement dit $\left\lbrace \begin{array}{lr} \bullet & \left|z^n\right|=|z|^n\\ \bullet & arg\left( z^n\right) =n\times arg(z) \end{array}\right. $ \section{Forme exponentielle d'un nombre complexe} \begin{itemize} \item Le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\theta$ est not $e^{i\theta}$. \item Si $z$ est un nombre complexe de module $r$ et d'argument $\theta$ on écrit $z=r\,e^{i\theta}$. \end{itemize} Autrement dit $\quad e^{i\theta}=\cos \theta +i\, \sin \theta$ Remarque \begin{enumerate} \item $\begin{array}{cccc} e^{i\,0}=1,\quad & e^{i\frac{\pi}{2}}=i,\quad & e^{i\pi}=-1,\quad &e^{i\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2}.\\ \end{array}$ \item $e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')},\quad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$ \item Formule de Moivre :$\quad \left(e^{i\theta} \right)^n =e^{i\,n\,\theta}$. \end{enumerate} \subsection{Formules d'Euler} $\left\lbrace \begin{array}{l} e^{i\theta}=\cos \theta + i\,\sin \theta\\ e^{-i\theta}=\cos \theta -i\,\sin \theta \end{array}\right. $ donne $\quad \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad$ et $\; \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}$ \section{ Racine n-ième d'un nombre complexe} Si $w$ est un nombre complexe, on appelle racine $n$-ième de $w$ tout nombre complexe $z$ tel que $z^n=w$
\subsection{Racines n-ièmes de l'unité} On appelle racine $n$-ième de l'unité tous les nombres complexes $z$ vérifiant $z^n=1$. Ce sont donc les nombres complexes $w_0,\dots,w_{n-1}$ s'écrivant $w_k=\exp\left(\frac{2ik\pi}n\right).$ Pour un entier $n$ donné, les images des racines n-ièmes de l'unité sont situées sur le cercle unité du plan complexe et sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés. Dans la figure ci-dessous, les racines 5-ièmes de l'unité sont les sommets d'un pentagone régulier $M_0M_1M_2M_3M_4$. |
Exercices corrigés
Exercice 1 Forme algébrique
Donner la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué des nombres complexes suivants : $$ \begin{array}{lllll} z_1=-3i+7&\quad&z_2=10&\quad&z_3=2i\\ z_4=i(3+i)&\quad&z_5=(1-i)(1+i)&\quad&z_6=(2+3i)(3+2i) \end{array}$$ |
Corrigé de l’exercice 1
\begin{itemize} \item $Re(z_1)=7$, $\quad Im(z_1)=-3$, $\quad \overline{z_1}=7+3i$. \item $Re(z_2)=z_210$, $\quad Im(z_2)=0$, $\quad \overline{z_2}=z_2=10$. \item $Re(z_3)=0$, $\quad Im(z_3)=2$, $\quad \overline{z_3}=-2i$. \item Pour $\quad z_4$, il faut effectuer le produit , on trouve $\quad z_4=-1+3i$, et donc $Re(z_4)=-1$, $\quad Im(z_4)=3$, $\quad \overline{z_4}=-1-3i$. \item $\quad z_5=(1-i)(1+i)=1-i^2=1+1=2$, et donc $Re(z_5)=z_5=2$, $\quad Im(z_5)=0$, $\quad \overline{z_5}=z_5=2$. \item $\quad z_6=7i$,$\quad Re(z_6)=0$, $\quad Im(z_6)=7$, $\quad \overline{z_6}=-z_6=-7i$. \end{itemize} |
Exercice 2
Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z_1=(4+3i)+(-i+5)&\quad \mathbf{2.}\ z_2=2(1+i)+4(-3-10i)&\quad\mathbf{3.}\ z_3=(4-3i)(5+6i)\\ \displaystyle\mathbf{4.}\ z_4=(1+2i)\overline{(2+2i)}&\quad\mathbf{5.}\ z_5=2i(1-i)^2& \quad\mathbf{6.}\ z_6=(3+2i)^3 \end{array} $$ |
Corrigé de l’exercice 2