Nombres complexes

Nombres complexes

\tableofcontents

Le plan est rapport un repère orthonormal $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $

\section{Forme algébrique d'un nombre complexe}
\subsection{Définitions}


\begin{itemize}
\item L'ensemble des nombres de la forme $a+ib$, où $a$ et $b$ sont des réels et $i$ est tel que $i^2=-1$, est appelé ensemble des nombres complexes. On le note $\mathbb C$.

Les propriétés des opérations addition et multiplication dans $\mathbb R$ se prolongent dans $\mathbb C$.

\item L'écriture $z=a+ib$ est la forme algébrique du nombre complexe $z$.

$a$ est la partie réelle de $z$, $b$ sa partie imaginaire.

On note $Re(z)=a,\quad Im(z)=b$.

$\mathbb R$ est une partie de $\mathbb C$, $\mathbb R$ contient les nombres complexes dont la partie imaginaire $b$ est nulle.

\item Tout nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé nombre imaginaire pur.
\end{itemize}
\subsection{Somme, produit et inverse}
Soient $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ deux nombres complexes.

$\begin{array}{ccc}
z+z'=(a+a')+i\,(b+b'),\quad & z\times z'=(aa'-bb')+i\,(ab'+a'b),\quad &(z\neq 0),\;\; \frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}.
\end{array}$
\subsection{équation dans $\mathbb C$}
Soit l'équation $\quad a\,z^2+b\,z+c=0 $ . où $a,b$ et $c$ sont des réels, $a$ non nul, $\;\;\Delta =b^2-4ac\quad\;$ est le discriminant.

\begin{itemize}

\item Si $\Delta=0\quad $ l'équation admet un unique solution :$\quad z=\frac{-b}{2a}$.
\item Si $\Delta >0\quad $ l'équation admet deux solutions réelles :$\quad z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
\item Si $\Delta \lt 0\quad $ l'équation admet deux solutions complexes :$\quad z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

\end{itemize}
\section{Interprétation géométrique d'un nombre complexe}
\subsection{Définitions}
%%\begin{minipage}{12cm}
Soit M un point de coordonnées $(x;y)$.
Le nombre complexe $z=x+i\,y$ est appelé affixe du point M.
Le point M est appelé image du nombre complexe $z$.
On note M$(z)$ le point d'affixe $z$.

Remarques

\begin{itemize}
\item Le nombre complexe $z$ est aussi l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{OM}$.
\item Le vecteur $ \overrightarrow{OM}$ est aussi l'image du nombre complexe $z$.
\item Le plan muni du repère orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ est appelé plan complexe.
\end{itemize}





%Ici image bis

\subsection{Somme et opposé}

\begin{enumerate}
\item Soit M et M' deux points d'affixe $z=x+i\,y$ et $z'=x'+i\,y'$.\\
Le point S défini par $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}$ a pour affixe $z+z'$.
\item Le point P défini par $\overrightarrow{OP}=-\overrightarrow{OM}$ a pour affixe $-z$.
\item l'affixe du vecteur $\overrightarrow{MM'}$ est $z'-z$.
\end{enumerate}
%\end{minipage}






%lci image 2
\subsection{Module d'un nombre complexe}
\subsubsection{Définition}
Soit M un point du plan d'affixe $z$. On appelle module du nombre complexe $z$ la distance $OM$. On le note $ |z|=OM$.

\subsubsection{Propriétés}
Soit $M$ et $M'$ deux points d'affixes respectives les nombres complexes $z$ et $z'$ .

\item Si $z=x+i\,y\quad $ alors $\;|z|=\sqrt{x^2+y^2}\;$
\item $|z|=\left|\overline{z}\right|,\quad z\times\overline{z}=x^2+y^2$
\item $\left|z\times z'\right|=|z|\times|z'|,\quad \left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|},\quad \left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|} $.
\item$|z+z'|\leq |z|+|z'|$
\item $\left| z^n\right|=|z|^n,\quad n\;\;$ entier naturel.
\item$MM'= \left| z'-z\right|$.



\section{Forme trigonométrique d'un nombre complexe}
\subsection{Définition d'un argument d'un nombre complexe}
%%\begin{minipage}{12cm}
Soit M un point d'affixe le nombre complexe $z\;$ non nul.
On appelle argument de $z$ tous les réels $\theta$, mesure en radians de l'angle$ \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{OM}\right)$ .On note $arg(z)=\theta +2k\pi,\;\;\; k \in \mathbb Z\;\;$ ou $arg(z)=\theta \;\;\;[2\pi]\; ($ modulo $2\pi )$.

Autrement dit, un nombre complexe non nul a une infinité d'arguments. Si $\theta$ est l'un d'entre eux, tout autre argument de $z$ s'écrit $ \theta +2k\pi.\;$\ On dit aussi qu'un argument de $z$ est défini modulo $\;2\pi$.
%\end{minipage}
%Ici image


Remarque
Le nombre complexe 0 n'a pas d'argument car la définition $\;arg(z)=\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{OM}\right);$ suppose $M\neq 0$.





\subsection{Propriétés}

\begin{enumerate}
\item Si $z$ est un rel strictement positif alors $arg(z)=0 \quad [2\pi]$.
\item Si $z$ est un rel strictement négatif alors $arg(z)=\pi \quad [2\pi]$.
\item Si $z$ est un imaginaire pur non nul alors $arg(z)=\frac{\pi}{2} \quad [\pi]$.
\item Si $arg(z)=\theta \quad [2\pi]\quad $ alors $arg(-z)=\theta+\pi \quad [2\pi]\quad $
\item Si $arg(z)=\theta \quad [2\pi]\quad $ alors $arg \left( \overline{z}\right) =-\theta \quad [2\pi] $.
\end{enumerate}





%ici image 3

\subsection{Définition de la forme trigonométrique d'un nombre complexe}
%\begin{minipage}{12cm}
Tout nombre complexe $z$ non nul, de module $r$ et dont un argument est $\theta$, peut s'écrire $ z=r\left(\cos(\theta)+i\,\sin(\theta) \right) .$\\
Cette écriture est appelé forme trigonométrique du nombre complexe $z$.
\subsection{Formes trigonométrique et algébrique}
Soit $z=x+i\,y$ un nombre complexe non nul.\\
On a $z=|z|\left( \cos(\theta)+i\,\sin(\theta)\right)\quad$ \\avec $\;\cos(\theta)=\frac{x}{x^2+y^2};\;$ et $\;\; \sin(\theta)=\frac{y}{x^2+y^2}\;\;$ .

Réciproquement:\\
si $z=r\left( \cos(\theta)+i\,\sin(\theta)\right),\;\;r>0\quad$ alors $\;\;|z|=r\;\;$ et $\;\;arg(z)=\theta\;\;[2\pi]$.
%%\end{minipage}
Ici image 4
\subsection{L'argument du produit est égal à la somme des arguments.}

Soit $z$ de module $r$ et d'argument $\theta$, $z'$ de module $r'$ et d'argument $\theta'$ deux nombres complexes non nuls.

$$ arg(z\times z')=arg(z)+arg(z')$$.

\subsection{Formule de Moivre.}
Soit $z=r(\cos \theta+i\,\sin \theta)\;\;$ et $n$ un entier naturel. On a $z^n=r^n \left( \cos(n\,\theta)+i\,\sin(n\,\theta)\right)$.

Autrement dit
$\left\lbrace \begin{array}{lr}
\bullet & \left|z^n\right|=|z|^n\\
\bullet & arg\left( z^n\right) =n\times arg(z)
\end{array}\right. $

\section{Forme exponentielle d'un nombre complexe}

\begin{itemize}
\item Le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\theta$ est not $e^{i\theta}$.

\item Si $z$ est un nombre complexe de module $r$ et d'argument $\theta$ on écrit $z=r\,e^{i\theta}$.
\end{itemize}

Autrement dit $\quad e^{i\theta}=\cos \theta +i\, \sin \theta$


Remarque
\begin{enumerate}
\item $\begin{array}{cccc}
e^{i\,0}=1,\quad & e^{i\frac{\pi}{2}}=i,\quad & e^{i\pi}=-1,\quad &e^{i\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2}.\\
\end{array}$

\item $e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')},\quad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$

\item Formule de Moivre :$\quad \left(e^{i\theta} \right)^n =e^{i\,n\,\theta}$.
\end{enumerate}


\subsection{Formules d'Euler}
$\left\lbrace \begin{array}{l}
e^{i\theta}=\cos \theta + i\,\sin \theta\\
e^{-i\theta}=\cos \theta -i\,\sin \theta
\end{array}\right. $
donne $\quad \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad$ et $\; \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}$
\section{ Racine n-ième d'un nombre complexe}

Si $w$ est un nombre complexe, on appelle racine $n$-ième de $w$ tout nombre complexe $z$ tel que $z^n=w$


  • Si $w$ est nul, alors il admet exactement une racine $n$-ième, lui-même.

  • Si $w$ est non-nul, il admet exactement $n$ racines $n$-ièmes distinctes. Pour les déterminer, on utiliser l'écriture trigonométrique de $w$ : si $w=\rho e^{i\theta}$, ses racines $n$-ièmes sont
    $$\rho^{1/n}e^{i\left(\frac\theta{n}+\frac{2k\pi}n\right)},\ 0\leq k\leq n-1.$$


\subsection{Racines n-ièmes de l'unité}
On appelle racine $n$-ième de l'unité tous les nombres complexes $z$ vérifiant $z^n=1$.
Ce sont donc les nombres complexes $w_0,\dots,w_{n-1}$ s'écrivant $w_k=\exp\left(\frac{2ik\pi}n\right).$
Pour un entier $n$ donné, les images des racines n-ièmes de l'unité sont situées sur le cercle unité du plan complexe et sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés.
Dans la figure ci-dessous, les racines 5-ièmes de l'unité sont les sommets d'un pentagone régulier $M_0M_1M_2M_3M_4$.

Exercices corrigés

Exercice 1 ( Forme algébrique )

Donner la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué des nombres complexes suivants :
$$
\begin{array}{lllll}
z_1=-3i+7&\quad&z_2=10&\quad&z_3=2i\\
z_4=i(3+i)&\quad&z_5=(1-i)(1+i)&\quad&z_6=(2+3i)(3+2i)
\end{array}$$
\begin{itemize}

\item $Re(z_1)=7$, $\quad Im(z_1)=-3$, $\quad \overline{z_1}=7+3i$.
\item $Re(z_2)=z_210$, $\quad Im(z_2)=0$, $\quad \overline{z_2}=z_2=10$.
\item $Re(z_3)=0$, $\quad Im(z_3)=2$, $\quad \overline{z_3}=-2i$.
\item Pour $\quad z_4$, il faut effectuer le produit , on trouve $\quad z_4=-1+3i$, et donc $Re(z_4)=-1$, $\quad Im(z_4)=3$, $\quad \overline{z_4}=-1-3i$.
\item $\quad z_5=(1-i)(1+i)=1-i^2=1+1=2$, et donc $Re(z_5)=z_5=2$, $\quad Im(z_5)=0$, $\quad \overline{z_5}=z_5=2$.
\item $\quad z_6=7i$,$\quad Re(z_6)=0$, $\quad Im(z_6)=7$, $\quad \overline{z_6}=-z_6=-7i$.


\end{itemize}

Exercice 2

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ z_1=(4+3i)+(-i+5)&\quad \mathbf{2.}\ z_2=2(1+i)+4(-3-10i)&\quad\mathbf{3.}\ z_3=(4-3i)(5+6i)\\
\displaystyle\mathbf{4.}\ z_4=(1+2i)\overline{(2+2i)}&\quad\mathbf{5.}\ z_5=2i(1-i)^2& \quad\mathbf{6.}\ z_6=(3+2i)^3
\end{array}
$$
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