Exercices d’algèbre et d’analyse

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Exercices d’algèbre et géométrie

  1. Groupes
  2. Matrices et déterminant
  3. Réduction d’endomorphisme

Exercices d’analyse et de probabilité

  1. Suites et séries numériques
  2. Suites et séries de fonctions
  3. Séries de Fourier
  4. Séries entières

Exercice 1

Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E. Pour X\subset E, on note X^c le complémentaire de X dans E. Démontrer les lois de Morgan suivantes : X dans E. Raisonner par double inclusion pour démontrer les lois de Morgan suivantes :

    \[\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)&&\mathbf{2.}\ (A^c)^c=A\\ \mathbf{3.}\ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c&&\mathbf{4.}\ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c.\\ \end{array}\]

Corrigé

  1. Soit x\in (A\cap B)\cup C. Alors (x\in A et x\in B) ou x\in C. Si x\in A et x\in B, alors x\in A\cup C et x\in B\cup C, et l’inclusion est prouvée. Sinon, c’est que x\in C, et dans ce cas on a aussi x\in A\cup C et x\in B\cup C.
    Récipoquement, si x\in A\cup C et x\in B\cup C, on distingue deux cas :
    • Si x\in C, alors x\in (A\cap B) ou x\in C et donc x\in (A\cap B)\cup C.
    • Sinon, x\notin C. Mais alors, puisque x\in A\cup C, on a x\in A. De même, puisque x\in B\cup C, on a x\in B. Ceci prouve que x\in A\cap B et donc x\in (A\cap B)\cup C.
  2. On suppose que x\in (A^c)^c. Alors x\notin A^c, et donc x\in A. Réciproquement, si x\in A, alors x\notin A^c et donc x\in (A^c)^c.
  3. Soit x\in(A\cap B)^c. Alors x\notin A\cap B. On a donc x\notin A ou x\notin B, c’est-à-dire x\in A^c ou x\in B^c. On en déduit que x\in A^c\cup B^c. Réciproquement, soit x\in A^c\cup B^c. Alors x\in A^c ou x\in B^c, c’est-à-dire x\notin A ou x\notin B. En particulier, x\notin A\cap B et donc x\in(A\cap B)^c.
  4. On peut présenter aussi les raisonnements précédents sous forme d’équivalence. C’est ce que l’on fait pour ce dernier exemple :

        \begin{eqnarray*} x\in (A\cup B)^c&\iff&x\notin A\cup B\\ &\iff&x\notin A\textrm{ et }x\notin B\\ &\iff&x\in A^c\textrm{ et }x\in B^c\\ &\iff&x\in A^c\cap B^c. \end{eqnarray*}