Feuille d exercices sur les matrices et déterminants

Exercice 1 ( Rang d’une comatrice )

On désigne par com$(A)$ la comatrice de $A \in \mathbb M_n(\mathbb R)$

  1. Etudier le rang de com$( A) $en fonction du rang de $A$.

  • Si rang$(A) = n$ alors $A$ est inversible c-à-d det$(A) \neq 0$, la formule $^tcom(A)A=\det(A)I_n$ prouve que com$(A)$ est inversible. Donc rang$($ com$(A)) = n$

  • Si le rang de $A$ vaut $n-1$, notons $f$ $($ resp. $g$ $)$ l'endomorphisme associé à $A$ $($resp. à $ ^tcom(A)$ $)$ dans la base canonique de $\mathbb R^n$. Comme $g \circ f=0$ , on a $Im ( f ) \subset ker(g)$, et donc $dim (Ker (g)) \geq n-1$ et $dim(Ker( g)) \neq n$, car la comatrice n'est pas la matrice nulle $($ un des déterminants extraits d'ordre $n-1$ de $A$ est non nul). Le théorème du rang $dim (Ker (g))+rang(g)=n$ prouve alors que le rang de la comatrice est $1$.

  • Si le rang de $A$ est inférieur ou égal à n-2, comme la comatrice est construite à partir de déterminants extraits d'ordre $n-1$, la comatrice est nulle.

Exercice 2 ( )