Feuille d’exercices sur les groupes

Exercice 1 ( Groupe fini )

$G$ est un groupe fini.

  1. Montrer que pour tout $ a \in G$, il existe un entier naturel $n$ non nul tel que $a^n=e$.

  2. Montrer qu'il existe un entier naturel $n$ non nul tel que pour tout $ a \in G$,$a^n=e$.

  3. Montrer que si $a^n=e$ et $n$ divise $m$ alors $a^m=e$

  1. Comme G est un groupe on a $\{a^k, k \in \mathbb N\} \subset G$. Le groupe G étant fini, il existe deux entiers naturels p et q tels que $a^p =a^q$ avec $p > q$ donc $a^{(p-q)}=e$.

  2. Posons $G=\{a_1,a_2, \cdots, a_r \}$, d'après la question 1. pour tout $a_k \in G$ il existe $n_{a_k} \in \mathbb N^*$ tel que $a_k^{n_{a_k}}=e$. Posons $n= n_{a_1}n_{a_2} \cdots n_{a_r}$.
    Donc $a_1^n=a_1^{n_{a_1}n_{a_2} \cdots n_{a_r}}=\left(a_1^{n_{a_1}}\right)^{n_{a_2}n_{a_3} \cdots n_{a_r}}=\left(e\right)^{n_{a_2}n_{a_3} \cdots n_{a_r}}=e$.
    Même raisonnement pour les autres éléments $a_2,a_3,\cdots, a_r$ de G.
  3. Si $a^n=e $ et $n$ divise $m$, alors il existe $k \in \mathbb Z $ tel que $m=kn$ donc $a^m=a^{kn}=\left(a^{n}\right)^k=e^k=e$.

Exercice 2 ( Groupe Abélien )

Montrer que tout groupe d'ordre inférieur ou égal à 5 est Abélien.
1er cas : $\vert G \vert=1$ alors $G=\{e\}$ G est donc Abélien.
2eme cas : $\vert G \vert=2$ alors $G=\{e,a \}$ avec $a \neq e$ comme $e$ commute avec tout les éléments, G est donc Abélien.
3eme cas $\vert G \vert=3$ alors $G=\{e,a,b\}$ avec e,a,b sont distincts.
on a $ab \in G$. Comme $b \neq e$ alors $ab \neq a$ et $a \neq b$ alors $ab \neq b$ donc $ab=e$, $b$ est le symétrique de $a$ donc $ab=ba=e$. Par conséquent G est Abélien.
4eme cas $\vert G \vert=4$, supposons que G est non Abélien, donc il existe $a,b \in G$ tels que $ab \neq ba$ et $ab \neq e$ .
Comme $b \neq e$ alors $ab \neq a$ et $a \neq b$ alors $ab \neq b$ donc ab est le 4eme élément de $G$. $G=\{e,a,b,ab\}$. Par conséquent $G$ est Abélien.

Exercice 3 ( sous groupes du groupe général linéaire)

Montrer que les parties suivantes de $GL_n(\mathbb R)$ sont des sous-groupes de $GL_n(\mathbb R)$.

  1. $F=\{A\in GL_n(\mathbb R);\ A\textrm{ diagonale avec tous ses coefficients diagonaux non-nuls}\}.$
  2. $H=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix} \in GL_2(\mathbb R);\ a>0,\ b\in\mathbb R\right\}$.

  1. Les éléments de $F$ sont les matrices $Diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ avec tous les $\lambda_i$ non nuls.
    Alors on a

    • $I_n=Diag(1,\dots,1)\in F$,

    • Si $Diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$, $Diag(\mu_1,\dots,\mu_n)\in F$, alors
      $$Diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\cdot Diag(\mu_1,\dots,\mu_n)=Diag(\lambda_1\mu_1,\dots,\lambda_n\mu_n)\in F$$


    • $$Diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)^{-1}=Diag(1/\lambda_1,\dots,1/\lambda_n)\in F.$$


    On en déduit que $F$ est un sous-groupe de $GL_n(\mathbb R)$.
  2. Notons $M(a,b)$ la matrice $\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}$ de sorte que $H$ est l'ensemble des matrices $M(a,b)$ avec $a>0$ et $b\in\mathbb R$. On a alors $M(a,b)M(c,d) =\begin{pmatrix}ac&ad+b\\0&1\end{pmatrix}=M(ac,ad+b)$ et donc

    • $I_2=M(1,0)\in H$

    • si $M(a,b)$ et $M(c,d)$ sont dans $H$, alors leur produit $M(ac,ad+b)$ est dans $H$
      (car $ac>0$).

    • L'inverse de la matrice $M(a,b)$, est
      $$M(a,b)^{-1}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix}1 &-b \\ 0& 1 \end{pmatrix}=M\left(\frac 1a,\frac{-b}a\right)\in H.$$



    Par conséquent $H$ est un sous-groupe de $GL_2(\mathbb R)$.

Exercice 3 ( Groupe général linéaire sur un corps fini )

Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $k$. L'ensemble de toutes les applications linéaires inversibles de $E$ dans $E$ est appelé groupe général linéaire de $E$ et est désigné par $GL(E)$.
Supposons que $k$ est un corps fini avec $|k| = p^m = q$ et que $E$ est de dimension finie $n$ sur $k$. Trouvez alors l'ordre de $GL(E)$.
\end{exo}
Solution Soit $k$ un corps fini avec $|k| = p^m = q $ et $dim E=n$. Alors $|E| = q^n$.
Pour toute base $\epsilon_1, \epsilon_2, ..., \epsilon_n$ de $E$ , il existe une unique application linéaire $\theta: E \longrightarrow E$ telle que $\theta(e_i)= \epsilon_i$
pour $i = 1, 2,\cdots, n$.
Par conséquent, |GL(E)| est égal au nombre de bases ordonnées de $E$. Pour former une base $\epsilon_1, \epsilon_2, ..., \epsilon_n$ de $E$ , nous pouvons d'abord choisir $\epsilon_1$ un vecteur non nul quelconque de $E$ , puis $\epsilon_2$ tout vecteur autre qu'un multiple scalaire de $\epsilon_1$. Ensuite, $\epsilon_3$ tout vecteur autre qu'une combinaison linéaire de $\epsilon_1$ et de $\epsilon_2$ et ainsi de suite. Donc $|GL(E)| = (q^n - 1)(q^n - q)(q^n - q^2) \cdots(q^n - q^{n-1})$.

Exercice 4 ( Groupe d’ordre pair )

Soit $G$ un groupe fini d'élément neutre $e$. Démontrer que si le cardinal de $G$ est pair alors il existe $g\in G$ avec $g\neq e$ tel que $g=g^{-1}$.
Notons, pour $g\in G$, $I_g=\{g,g^{-1}\}$. Alors on a ou bien $I_g=I_h$, ou bien $I_g\cap I_h=\emptyset$ pour tout $g,h \in G$. En effet, si $g=h^{-1}$, alors $g^{-1}=h$ et on a bien $I_g=I_h$. $G$ s'écrit alors comme la réunion disjointe de tous les $I_g$ différents. Au moins l'un parmi ces $I_g$ est de cardinal 1 : il s'agit de $I_e$. Si tous les autres étaient de cardinal 2, alors le groupe serait de cardinal impair, ce qui n'est pas le cas. Il existe donc $g\neq e$ tel que le cardinal de $I_g$ soit égal à 1, c'est-à-dire tel que $g=g^{-1}$.

Exercice 5 ( Groupe de symétries S_3 )

Dresser la table de multiplication du groupe de symétries $S_3$.
$$1 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}, y = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
$$x^2 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}, xy = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}, x^2y = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
$$x^3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, y^2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, yx = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} = x^2y$$


\begin{array}{| c || c | c | c | c | c | c |}
\hline
& 1 & g & x^2 & y & xy & x^2y \\
\hline \hline
1 & 1 & x & x^2 & y & xy & x^2y \\
\hline
x & x & x^2 & 1 & xy & x^2y & y \\
\hline
x^2 & x^2 & 1 & x & x^2y & y & xy \\
\hline
y & y & x^2y & xy & 1 & x^2 & x \\
\hline
xy & xy & y & x^2y & x & 1 & x^2 \\
\hline
x^2y & x^2y & xy & y & x^2 & x & x^3 \\
\hline
\end{array}

Exercice 6 ( Sous-groupes cycliques )

On considère $(G, \cdot)~ $ un groupe multiplicatif et $a$ un élément de $G$. On note par $\langle a^{k} \rangle,~~~k \in \mathbb Z$, le groupe cyclique engendré par l'élément $a^k$ et par $\vert a^k \vert$ l'ordre de l'élément $a^k$.
\begin{enumerate}
\item On donne $\vert a \vert=30$, lister tous les éléments des sous-groupes $\langle a^{26} \rangle$, $ \langle a^{17} \rangle$, $\langle a^{18}\rangle$ et calculer les ordres $\vert a^{17}\vert$,$\vert a^{18}\vert$, $\vert a^{26}\vert$.
\item De même pour $\vert a \vert=1000$, lister tous les éléments des sous-groupes $\langle a^{140}\rangle$, $\langle a^{400}\rangle,\langle a^{62}\rangle$ et calculer les ordres $|a^{140}|$, $|a^{400}|$, et $|a^{62}|$.
indication: utiliser le théorème suivant:


Soit $a$ un élément d'ordre $n$ d'un groupe multiplicatif $(G, \cdot)$ et soit $k$ un entier positif. Alors $$~~~< a^k >~~=~~~< a^{pgcd(n,k)}> ~~~~~\text{et}~~~~~\vert a^k \vert =\frac{n}{pgcd(n,k)}.$$
\begin{enumerate}


\item Comme $pgcd(26,30)=2$, nous avons
$$\langle a^{26} \rangle=\langle a^{2} \rangle=\{e,a^2,a^4,a^6,\cdots,a^{28} \}~~~~\text{et}~~~~~\vert a^{26} \vert=\vert a^{2} \vert=30/2=15$$
$pgcd(17,30)=1$, nous avons donc, $$\langle a^{17} \rangle=\langle a^{1} \rangle=\{e,a,a^2,a^3,\cdots,a^{29} \} ~~~~\text{et}~~~~~\vert a^{17} \vert=\vert a^{1} \vert=30/1=30$$
$pgcd(18,30)=6$, donc $$\langle a^{18} \rangle=\langle a^{6} \rangle=\{e,a^6,a^{12},a^{18},a^{24} \} ~~~~\text{et}~~~~~\vert a^{18} \vert=\vert a^{6} \vert=30/6=5$$



\item Comme $pgcd(1000, 140) = pgcd(2^3\cdot5^3, 2^2\cdot5 \cdot 7) =2^2\cdot 5 = 20$ nous avons alors $$\langle
a^{140}\rangle=\langle a^{20}\rangle= \{e, a^{20}, a^{40}, a^{60}, \cdots , a^{980}\}~~~~\text{et}~~~~~|a^{140}| = |a^{20}| = 1000/20 = 50$$
$pgcd(1000, 400) = gcd(2^3\cdot5^3, 2^45^2) = 2^35^2 = 200$ donc $$\langle
400 \rangle = \langle 200 \rangle =\{e, a^{200}, a^{400}, a^{600}, a^{800} \}~~~~\text{et}~~~~~|a^{400}| = |a^{200}| = 1000/200 = 5$$
$pgcd(1000, 62) = (2^35^3, 2 \cdot 31) = 2$ nous avons donc $$\langle
a^{62} \rangle=\langle a^2\rangle= \{e, a^2, a^4, a^6, \cdots , a^{998} \} ~~~~\text{et}~~~~~|a^{62}|=|a^{2}|=1000/2=500.$$
\end{enumerate}