Exercice 1 
Convergence non uniforme sur un intervalle fermé 
| Trouver un exemple de suite de fonctions $(f_n)$ qui converge simplement sur $X$, mais ne converge pas uniformément sur un intervalle fermé $[a, b] \subset X.$ |
Corrigé de l’exercice 1
| Un exemple est donné par la suite de fonctions définie par $f_{n}(x)=nxe^{-n^{2}x^{2}}$ sur $X=\mathbb R$. Il est facile de montrer que cette suite tend vers la fonction nulle, $f(x)\equiv 0$ sur $\mathbb R$. En effet, pour $x=0,\forall n \in \mathbb N , ~f_{n}(0)=0$ et, par conséquent, $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}(0 )=0$. Pour $x \neq 0$, on peut utiliser le changement de variable $t=nx$ : $$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\lim_{t\rightarrow\pm\infty}\frac{t}{e^{t^{2}}}=0.$$ Considérons maintenant $[a,b]\subset \mathbb R$ tel que $a \leq 0 < b $. On chosit $N >\displaystyle \frac{1}{b}$ et $x_{n}=\displaystyle \frac{ 1}{n}$, on obtient alors pour tout $ n>N$ : $$|f_{n}(x_{n})-f(x_{n})|=n|x_{n}|e^{-n^{2}x_{n}^{2}}=e^ {-1} ~~\text{ne tend pas vers }~0$$ ce qui signifie que $(f_{n})$ ne converge pas uniformément vers $0$ sur l'intervalle fermé $[a,b]$. |
Exercice 2 Terme général qui converge uniformément vers 0
| Trouver un exemple de série de fonctions qui converge simplement sur $X$ et dont le terme général converge uniformément vers zéro sur $X$, mais la série ne converge pas uniformément sur $X$ |
Corrigé de l’exercice 2
| Considérons la série $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}$ sur $X = [0, 1[$. Cette série converge pour pour tou $x \in X$, car $\forall n, ~0 \leq \frac{ x}{n}\leq x^n$,et la série géométrique $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}x^n$ est convergente pour $\vert x \vert < 1$. On peut même trouver la somme de cette série si on se rappelle que la fonction $\ln (1 + x)$ a un développement en série de Taylor $\ln (1 + x) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n}$ qui est convergent dans $]−1, 1]$. Alors, en remplaçant $x$ par $-x$, on obtient $\ln (1 - x) = -\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}$ qui converge sur $[−1, 1[$ et, en particulier, sur $X = [0, 1[$. De plus, le terme général $u_n(x) = \frac{x^n}{n}$ converge uniformément vers 0 sur $X = [0, 1[$, car $\forall x \in X , |u_n(x)| = \frac{|x|^n}{n} < \frac{1}{n}$ et $\lim \frac{1}{n}=0$ . Par conséquent, les conditions de l'énoncé sont satisfaites. Cependant, la série ne converge pas uniformément sur $X$. Cela peut être montré en vérifiant le critère de Cauchy pour la convergence uniforme. En effet, on a : $$\left(\forall x \in X \right), \left( \forall n, p \in \mathbb N \right),~ \left| \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac{x^k}{k} \right| =\frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots + \frac{x^{n+p}}{n+p} > p\frac{x^{n+p}}{n+p}$$ On choisissant pour tout $n \in \mathbb N,~p_n=n$ et $x_n=2^{-\frac{1}{n}} \in X$ on obtient $$\left| \sum\limits_{k=n+1}^{n+p_n}\frac{x_n^k}{k} \right| > n\frac{(2^{-\frac{1}{n}})^{2n}}{2n}=\frac{1}{8}~ ~\text{ne tend pas vers}~ 0$$ ce qui signifie que le critère de Cauchy uniforme n'est pas satisfait et, par conséquent, la série $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}$ ne converge pas uniformément sur $X$. |
Exercice 3