Géométrie repérée première – Spécialité mathématiquesSpécialité mathématiques

Exercice 1

Le plan est menu d’ un repère $\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)$ . On donne les points $A(5;-1)$ , $B(-2;0)$ et $C\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{4}\right)$ .

Calculer les coordonnées des vecteurs suivants :

$\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {CA}, \overrightarrow {BC}, 3\overrightarrow {AC}, -2\overrightarrow {AB}+4\overrightarrow {BC}$ .

corrigé exercice 1

$\overrightarrow {AB}\left(-2-5;0-(-1)\right)$ soit $\overrightarrow {AB}(-7;1)$

$\overrightarrow {CA}\left(5-\dfrac{3}{2};-1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)\right)$ soit $\overrightarrow {CA}\left(\dfrac{7}{2};-\dfrac{3}{4}\right)$

$\overrightarrow {BC}\left(\dfrac{3}{2}-(-2);-\dfrac{1}{4}-0\right)$ soit $\overrightarrow {BC}\left(\dfrac{7}{2};-\dfrac{1}{4}\right)$

$3\overrightarrow {AC}=-3\overrightarrow {CA}$ donc $3\overrightarrow {AC}\left(-\dfrac{21}{2};\dfrac{9}{4}\right)$ .

Par conséquent $-2\overrightarrow {AB}+4\overrightarrow {BC} (14+14;-2-1)$ d’où $-2\overrightarrow {AB}+4\overrightarrow {BC}(28;-3)$

Exercice 2

On considère les points $A(-1;-2)$ , $B(3;1)$ et $C(0;2)$ . Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$ tels que $ABCM$ et $ABNC$ soient des parallélogrammes.

Corrigé de l’exercice 2

On considère le point $M(x;y)$ .
$ABCM$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{BC}$ .
$\overrightarrow{AM}(x+1;y+2)$ et $\overrightarrow{BC}(-3;1)$ .
Par conséquent $\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{BC} \iff \begin{cases}x+1=-3\\y+2=1\end{cases}\iff \begin{cases} x=-4\\y=-1\end{cases}$ .
Ainsi $M(-4;-1)$ .
On considère le point $N(x';y')$ .
$ABNC$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CN}$ .
$\overrightarrow{AB}(4;3)$ et $\overrightarrow{CN}(x';y'-2)$ .
Par conséquent $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CN} \iff \begin{cases}x'=4\\y'-2=3\end{cases} \iff \begin{cases} x'=4\\y'=5\end{cases}$ .
Ainsi $N(4;5)$ .

Exercice 3

On considère les points $A(-2;1)$ , $B(-1;4)$ et $C(2;3)$ .

On appelle :
– $M$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ .
– $N$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$ .
Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$ .
$\quad$
On considère les points $P$ et $Q$ tels que $\overrightarrow{AP}=-3 \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AQ}=-3 \overrightarrow{AC}$ .
Démontrer que les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
$\quad$

Corrigé de l’exercice 3

$M(x;y)$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ donc $B$ est le milieu de $[AM]$ .
Ainsi $\begin{cases} -1=\dfrac{-2+x}{2}\\4=\dfrac{1+y}{2}\end{cases} \iff \begin{cases} -2=-2+x\\8=1+y\end{cases} \iff \begin{cases} x=0\\y=7\end{cases}$
Donc $M(0;7)$ .
$\quad$
$N(a;b)$ est le symétrique de $A$ par rapport à $C$ donc $C$ est le milieu de $[AN]$ .
Ainsi $\begin{cases} 2=\dfrac{-2+a}{2}\\3=\dfrac{1+b}{2} \end{cases} \iff \begin{cases}4=-2+a\\6=1+b \end{cases} \iff \begin{cases}a=6\\b=5\end{cases}$
Donc $N(6;5)$ .
$\quad$
$\overrightarrow{PQ}= \overrightarrow{PA}+ \overrightarrow{AQ}=3 \overrightarrow{AB}-3 \overrightarrow{AC}$ $=3\left( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA}\right)=3 \overrightarrow{CB}$ .
$\overrightarrow{MN}= \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{AN}=2 \overrightarrow{BA}+2 \overrightarrow{AC}$ $=2 \overrightarrow{BC}$ .
Les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$ sont donc colinéaires et les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
$\quad$

Exercice 4

On considère un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$ . On munit le plan du repère $\left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\right)$ . Déterminer dans ce repère les coordonnées des vecteurs suivants : $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{DO}$ . $\quad$

Corrigé de l’exercice 4

$\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}$ donc $\overrightarrow{AC}(1;1)$ .
$\overrightarrow{AB}(1;0)$
$\overrightarrow{AD}(0;1)$
$\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AD}$ donc $\overrightarrow{BC}(0;1)$
$\overrightarrow{CD}=- \overrightarrow{AB}$ donc $\overrightarrow{CD}(-1;0)$
$\overrightarrow{DO}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{DB}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{AB}\right)$ d’où $\overrightarrow{DO}\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$ .