Intégrales spé – Spécialité mathématiquesSpécialité mathématiques

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=3+\dfrac{2}{x}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité $1$ cm.
Calculer l’aire sous la courbe $\mathscr{C}_f$ sur l’intervalle $[1;4]$ .

Corrigé

La fonction est $f$ est continue sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle.
Ainsi l’aire sous la courbe $C_f$ sur l’intervalle $[1;4]$ est :

$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7264c27f14ae022d6996502b2a7e6afd_l3.png" height="168" width="241" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle \int_1^4 f(x)dx \\ &=\Big[3x+2\ln(x)\Big]_1^4 \\ &=12+2\ln(4)-\left(3+2\ln(1)\right) \\ &=12+2\ln(4)-3\\ &=9+2\ln(4)\text{ u.a.}\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$

Or $1\text{ u.a}=1\times 1$ cm $^2$
Donc :
$\mathscr{A}=9+2\ln(4)\text{ cm}^2$

Exercice 2

Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $F(x)=xe^{x^2}+5$ .
Calculer $\displaystyle \int_{-3}^3 F'(x)dx=$ :

Correction

On a :

$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6765470a3d5df3483c793fa46dbea268_l3.png" height="97" width="277" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} \displaystyle \int_{-3}^3 F'(x)dx&= F(3)-F(-3) \\ &=3e^9+5-\left(-3e^{9}+5\right) \\ &=6e^9\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$

Exercice 3

Calculer La valeur moyenne sur $[-2;1]$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2$ .

Correction

La valeur moyenne d’une fonction $f$ sur $[-2;1]$ est donnée par la formule

$m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle \int_{a}^b f(x)dx$

Donc la valeur moyenne cherchée est :

$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12c6ba3a378da4d02ea25716bf7205aa_l3.png" height="199" width="190" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} m&=\dfrac{1}{1-(-2)}\displaystyle \int_{-2}^1 3x^2dx \\ &=\dfrac{1}{3}\Big[x^3\Big]_{-2}^1 \\ &=\dfrac{1^3-(-2)^3}{3} \\ &=\dfrac{1+8}{3} \\ &=3\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$

$\quad$

Soient $f$ et $g$ les fonction définies sur $\mathbb R$ par : $f(x)=x^2+8x-7$ et $g(x)=-x^2+2x+13$ .
L’aire du domaine situé entre $C_f$ et $C_g$ sur $[-5;2]$ est :
a. $\displaystyle \int_{-5}^2\left(f(x)-g(x)\right)dx$
b. $\displaystyle \int_{-5}^2\left(g(x)-f(x)\right)dx$
c. $\dfrac{77}{3}$
d. $\dfrac{343}{7}$
$\quad$

Correction Question 6

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[-5;2]$ donc $f-g$ et $g-f$ le sont aussi.
Il faut déterminer le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[-5;2]$ .
Pour tout réel $x$ on a :

$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1554716b3933481e4fbd2d3870d5cd4c_l3.png" height="135" width="350" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} f(x)-g(x)&=x^2+8x-7-\left(-x^2+2x+13\right) \\ &=x^2+8x-7+x^2-2x-13\\ &=2x^2+6x-20 \\ &=2\left(x^2+3x-10\right)\\ &=2(x-2)(x+5)\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$

$f(x)-g(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=2>0$ et les racines sont $2$ et $-5$ .
Par conséquent $f(x)-g(x)\pp 0$ sur $[-5;2]$ .
Ainsi l’aire du domaine situé entre $C_f$ et $C_g$ sur $[-5;2]$ est :

$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f37184b4765d9cce63541e29bbe22155_l3.png" height="285" width="315" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle \int_{-5}^2 \left(g(x)-f(x)\right)dx \\ &=\int_{-5}^2\left(-2x^2-6x+20\right) dx \\ &=\left[-\dfrac{2}{3}x^3-3x^2+20x\right]_{-5}^2 \\ &=-\dfrac{16}{3}-12+40-\left(\dfrac{250}{3}-75-100\right) \\ &=-\dfrac{266}{3}+203\\ &=\dfrac{343}{3}\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$

Réponse b. et c.

$\quad$

Les primitives sur $\mathbb R$ de $x\mapsto e^{-0,2x}$ sont :
a. $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}e^{-0,2x}$
b. $x\mapsto -5e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel
c. $x\mapsto -0,2e^{-0,2x}$
d. $x\mapsto -0,2e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel
$\quad$
Les primitives sur $\mathbb R$ de $x\mapsto e^{-0,2x}$ sont de la forme $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel.
Si $k=0$ alors on obtient la fonction définie sur $\mathbb R$ $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}e^{-0,2x}$
De plus on a $\dfrac{1}{-0,2}=-5$ .
Ainsi les primitives sur $\mathbb R$ de $x\mapsto e^{-0,2x}$ sont de la forme $x\mapsto -5e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel.
Réponse a. et b.
$\quad$
$\quad$

Une primitive sur $\mathbb R$ de $x\mapsto 3(x-2)(x+5)$ est :
a. $x\mapsto 6x\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)\left(\dfrac{x^2}{2}+5x\right)$
b. $x\mapsto 6x+9$
c. $x\mapsto x^3+\dfrac{9}{2}x^2-30x+7$
d. $x\mapsto x\left(x^2+\dfrac{9}{2}x-30\right)$
$\quad$

Correction Question 8 On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=3(x-2)(x+5)$ .
Ainsi

$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-23073af5fac2228a6b07bb8b82ac129b_l3.png" height="47" width="182" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*}f(x)&=3\left(x^2+3x-10\right) \\ &=3x^2+9x-30\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb R$ en tant que polynôme.
Les primitives de la fonction $f$ sont donc les fonctions $F$ définies par $F(x)=x^3+\dfrac{9}{2}x^2-30x+k$ où $k$ est un réel.
Si on développe l’expression a. on obtient un polynôme de degré $5$ . Cette réponse ne convient donc pas.
Si on développe l’expression d. on obtient $x^2+\dfrac{9}{2}x^2-30x$ .
Réponse c. et d.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=1-xe^{-x^2/2}$ .
La valeur moyenne de $f$ sur $[-2;0]$ est :
a. $\dfrac{3-e^{-2}}{2}$
b. $\dfrac{-3+e^{-2}}{2}$
c. $3+e^{-2}$
d. $1,43$
$\quad$

La valeur moyenne de $f$ sur $[-2;0]$ est :

$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5a45eecdfc816aafa735bd76af477fb_l3.png" height="177" width="198" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{0-(-2)}\int_{-2}^0 f(x)dx \\ &=\dfrac{1}{2}\left[x+e^{-x^2/2}\right]_{-2}^0 \\ &=\dfrac{1}{2}\left(1-\left(-2+e^{-2}\right)\right) \\ &=\dfrac{3-e^{-2}}{2}\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$

Réponse a.
$\quad$
$\quad$

Une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{2x^2-x+3}{x}$ est :
a. $F(x)=\dfrac{\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x}{\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{8}{3}}$
b. $F(x)=-\dfrac{3}{x^2}$
c. $F(x)=2x-1$
d. $F(x)=x^2-x+3\ln(x)+1$
$\quad$

Correction Question 10 Pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$ on a :

$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-823c86752b695f93e5ae3565d45bc0c0_l3.png" height="82" width="150" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} f(x)&=\dfrac{2x^2-x+3}{x} \\ &=2x-1+\dfrac{3}{x}\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$

Ainsi les primitives de la fonction $f$ sont définies par $F(x)=x^2-x+3\ln(x)+k$ où $k$ est un réel.
Réponse d.

$\quad$

Le nombre $\displaystyle \int_1^4\left(2x-1+\dfrac{3}{x}\right)dx$ est égal à :
a. $6\ln(2)+12$
b. $\ln(2)+2$
c. $-6\ln(2)-12$
d. $\ln(2)-72$
$\quad$
Correction Question 11 On a :

$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a27adc7d15d9782c991f4db6850946df_l3.png" height="187" width="306" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} I&=\displaystyle \int_1^4\left(2x-1+\dfrac{3}{x}\right)dx \\ &=\left[x^2-x+3\ln(x)\right]_1^4 \\ &=16-4+3\ln(4)-\left(1^2-1+3\ln(1)\right) \\ &=12+3\ln(4)\\ &=12+3\ln\left(2^2\right) \\ &=12+6\ln(2)\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$

Réponse a.
$\quad$

[collapse]

$\quad$