\tableofcontents
Le plan est rapport un repère orthonormal
\section{Forme algébrique d’un nombre complexe}
\subsection{Définitions}
\begin{itemize}
\item L’ensemble des nombres de la forme , où et sont des réels et est tel que , est appelé ensemble des nombres complexes. On le note .
Les propriétés des opérations addition et multiplication dans se prolongent dans .
\item L’écriture est la forme algébrique du nombre complexe .
est la partie réelle de , sa partie imaginaire.
On note .
est une partie de , contient les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle.
\item Tout nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé nombre imaginaire pur.
\end{itemize}
\subsection{Somme, produit et inverse}
Soient et deux nombres complexes.
\subsection{équation dans }
Soit l’équation . où et sont des réels, non nul, est le discriminant.
\begin{itemize}
\item Si l’équation admet un unique solution :.
\item Si l’équation admet deux solutions réelles : et .
\item Si l’équation admet deux solutions complexes : et .
\end{itemize}
\section{Interprétation géométrique d’un nombre complexe}
\subsection{Définitions}
%%\begin{minipage}{12cm}
Soit M un point de coordonnées .\\
Le nombre complexe est appelé affixe du point M.\\
Le point M est appelé image du nombre complexe .\\
On note M le point d’affixe .
Remarques
\begin{itemize}
\item Le nombre complexe est aussi l’affixe du vecteur .
\item Le vecteur est aussi l’image du nombre complexe .
\item Le plan muni du repère orthonormal direct est appel plan complexe.
\end{itemize}
%\end{minipage}
Ici image bis
\subsection{Somme et opposé}
%\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item Soit M et P deux points d’affixe et .\\
Le point S défini par a pour affixe .
\item Le point N défini par a pour affixe .
\item l’affixe du vecteur est .
\end{enumerate}
%\end{minipage}
lci image 1
\subsection{Module d’un nombre complexe}
\subsubsection{Définition}
Soit M un point du plan d’affixe . On appelle module du nombre complexe la distance . On le note .
\subsubsection{Propriétés}
Soit et deux points d’affixes respectives les nombres complexes et .
\begin{description}
\item[] Si alors
\item[]
\item[] .
\item[]
\item[] entier naturel.
\item[] .
\end{description}
\section{Forme trigonométrique d’un nombre complexe}
\subsection{Définition d’un argument d’un nombre complexe}
%%\begin{minipage}{12cm}
Soit M un point d’affixe le nombre complexe non nul.\\
On appelle argument de tous les réels , mesure en radians de l’angle .\\ On note ou (modulo ).
Autrement dit, un nombre complexe non nul a une infinité d’arguments.\\ Si est l’un d’entre eux, tout autre argument de s’écrit \\ On dit aussi qu’un argument de est défini modulo .
%\end{minipage}
Ici image 2
\subsection{Remarque}
Le nombre complexe 0 n’a pas d’argument car la définition suppose .
\subsection{Propriétés}
%%\begin{minipage}{12cm}
\begin{enumerate}
\item Si est un rel strictement positif alors .
\item Si est un rel strictement négatif alors .
\item Si est un imaginaire pur non nul alors .
\item Si alors
\item Si alors .
\end{enumerate}
%%\end{minipage}
ici image 3
\subsection{Définition de la forme trigonométrique d’un nombre complexe}
%\begin{minipage}{12cm}
Tout nombre complexe non nul, de module et dont un argument est , peut s’écrire \\
Cette écriture est appelé forme trigonométrique du nombre complexe .
\subsection{Formes trigonométrique et algébrique}
Soit un nombre complexe non nul.\\
On a \\avec et .
Réciproquement:\\
si alors et .
%%\end{minipage}
Ici image 4
\subsection{L’argument du produit est égal à la somme des arguments.}
Soit de module et d’argument , de module et d’argument deux nombres complexes non nuls.
.
\subsection{Formule de Moivre.}
Soit et un entier naturel. On a .
Autrement dit
\section{Forme exponentielle d’un nombre complexe}
\begin{itemize}
\item Le nombre complexe de module 1 et dont un argument est est not .
\item Si est un nombre complexe de module et d’argument on écrit .
\end{itemize}
Autrement dit
\subsection{Remarque}
\begin{enumerate}
\item
\item
\item Formule de Moivre :.
\end{enumerate}
\subsection{Formules d’Euler}
donne et
\section{ Racine n-ième d’un nombre complexe}
Si est un nombre complexe, on appelle racine -ième de tout nombre complexe tel que
<ul>
<li>Si est nul, alors il admet exactement une racine -ième, lui-même.
<li>Si est non-nul, il admet exactement racines -ièmes distinctes.
Pour les déterminer, on utiliser l’écriture trigonométrique de : si , ses racines -ièmes sont
</ul>
\subsection{Racines n-ièmes de l’unité}
On appelle racine -ième de l’unité
tous les nombres complexes vérifiant .
Ce sont donc les nombres complexes
s’écrivant
Pour un entier donné, les images des racines n-ièmes de l’unité sont situées sur le cercle unité du plan complexe et sont les sommets d’un polygone régulier à côtés.
Dans la figure ci-dessous, les racines 5-ièmes de l’unité sont les sommets d’un pentagone régulier .
ici image 5