Nombres Complexes2

 

\tableofcontents

Le plan est rapport un repère orthonormal \left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)

\section{Forme algébrique d’un nombre complexe}
\subsection{Définitions}

\begin{itemize}
\item L’ensemble des nombres de la forme \boxed{a+i\,b}, où a et b sont des réels et i est tel que \boxed{i^2=-1}, est appelé ensemble des nombres complexes. On le note \mathbb C.

Les propriétés des opérations addition et multiplication dans \mathbb R se prolongent dans \mathbb C.

\item L’écriture z=a+i\,b est la forme algébrique du nombre complexe z.

a est la partie réelle de z, b sa partie imaginaire.

On note Re(z)=a,\quad Im(z)=b.

\mathbb R est une partie de \mathbb C, \mathbb R contient les nombres complexes dont la partie imaginaire b est nulle.

\item Tout nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé nombre imaginaire pur.
\end{itemize}
\subsection{Somme, produit et inverse}
Soient z=a+i\,b et z'=a'+i\,b' deux nombres complexes.

\begin{array}{ccc}\boxed{z+z'=(a+a')+i\,(b+b')},\quad &\boxed{z\times z'=(aa'-bb')+i\,(ab'+a'b)},\quad &(z\neq 0),\;\; \boxed{\dfrac{1}{z}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-i\dfrac{b}{a^2+b^2}}.\end{array}
\subsection{équation dans \mathbb C}
Soit l’équation \quad a\,z^2+b\,z+c=0 . où a,b et c sont des réels, a non nul, \;\;\Delta =b^2-4ac\quad\; est le discriminant.

\begin{itemize}
\item Si \Delta=0\quad l’équation admet un unique solution :\quad z=\dfrac{-b}{2a}.
\item Si \Delta >0\quad l’équation admet deux solutions réelles :\quad z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
\item Si \Delta<0\quad l’équation admet deux solutions complexes :\quad z_1=\dfrac{-b-i\,\sqrt{-\Delta}}{2a} et z_2=\dfrac{-b+i\,\sqrt{-\Delta}}{2a}.
\end{itemize}
\section{Interprétation géométrique d’un nombre complexe}
\subsection{Définitions}
%%\begin{minipage}{12cm}
Soit M un point de coordonnées (x;y).\\
Le nombre complexe z=x+i\,y est appelé affixe du point M.\\
Le point M est appelé image du nombre complexe z.\\
On note M(z) le point d’affixe z.

Remarques

\begin{itemize}
\item Le nombre complexe z est aussi l’affixe du vecteur \overrightarrow{OM}.
\item Le vecteur \overrightarrow{OM} est aussi l’image du nombre complexe z.
\item Le plan muni du repère orthonormal direct \left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) est appel plan complexe.
\end{itemize}
%\end{minipage}
Ici image bis

\subsection{Somme et opposé}
%\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item Soit M et P deux points d’affixe z=x+i\,y et z'=x'+i\,y'.\\
Le point S défini par \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'} a pour affixe z+z'.
\item Le point N défini par \overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{OM} a pour affixe -z.
\item l’affixe du vecteur \overrightarrow{MM'} est z'-z.
\end{enumerate}
%\end{minipage}
lci image 1
\subsection{Module d’un nombre complexe}
\subsubsection{Définition}
Soit M un point du plan d’affixe z. On appelle module du nombre complexe z la distance OM. On le note |z|=OM.

\subsubsection{Propriétés}
Soit M et M' deux points d’affixes respectives les nombres complexes z et z' .
\begin{description}
\item[\bullet] Si z=x+i\,y\quad alors \;\;\boxed{\;|z|=\sqrt{x^2+y^2}\;}
\item[\bullet] |z|=\left|\overline{z}\right|,\quad z\times\overline{z}=x^2+y^2
\item[\bullet] \left|z\times z'\right|=|z|\times|z'|,\quad \left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|},\quad \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}.
\item[\bullet] |z+z'|\leq |z|+|z'|
\item[\bullet] \left| z^n\right|=|z|^n,\quad n\;\; entier naturel.
\item[\bullet] MM'= \left| z'-z\right|.
\end{description}

\section{Forme trigonométrique d’un nombre complexe}
\subsection{Définition d’un argument d’un nombre complexe}
%%\begin{minipage}{12cm}
Soit M un point d’affixe le nombre complexe z\; non nul.\\
On appelle argument de z tous les réels \theta, mesure en radians de l’angle\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{OM}\right) .\\ On note arg(z)=\theta +2k\pi,\;\;\; k \in \mathbb Z\;\; ou arg(z)=\theta \;\;\;[2\pi]\; (modulo [2\pi] ).

Autrement dit, un nombre complexe non nul a une infinité d’arguments.\\ Si \theta est l’un d’entre eux, tout autre argument de z s’écrit \theta +2k\pi.\;\\ On dit aussi qu’un argument de z est défini modulo \;2\pi.
%\end{minipage}
Ici image 2

\subsection{Remarque}
Le nombre complexe 0 n’a pas d’argument car la définition \;\boxed{arg(z)=\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{OM}\right)}\; suppose M\neq 0.

\subsection{Propriétés}
%%\begin{minipage}{12cm}
\begin{enumerate}
\item Si z est un rel strictement positif alors arg(z)=0 \quad [2\pi].
\item Si z est un rel strictement négatif alors arg(z)=\pi \quad [2\pi].
\item Si z est un imaginaire pur non nul alors arg(z)=\dfrac{\pi}{2} \quad [\pi].
\item Si arg(z)=\theta \quad [2\pi]\quad alors arg(-z)=\theta+\pi \quad [2\pi]\quad
\item Si arg(z)=\theta \quad [2\pi]\quad alors arg \left( \overline{z}\right) =-\theta \quad [2\pi].
\end{enumerate}
%%\end{minipage}
ici image 3

\subsection{Définition de la forme trigonométrique d’un nombre complexe}
%\begin{minipage}{12cm}
Tout nombre complexe z non nul, de module r et dont un argument est \theta, peut s’écrire \boxed {z=r\left(\cos(\theta)+i\,\sin(\theta) \right) }.\\
Cette écriture est appelé forme trigonométrique du nombre complexe z.
\subsection{Formes trigonométrique et algébrique}
Soit z=x+i\,y un nombre complexe non nul.\\
On a z=|z|\left( \cos(\theta)+i\,\sin(\theta)\right)\quad \\avec \;\;\boxed{\cos(\theta)=\dfrac{x}{x^2+y^2}}\;\; et \;\; \boxed{\sin(\theta)=\dfrac{y}{x^2+y^2}}\;\; .

Réciproquement:\\
si z=r\left( \cos(\theta)+i\,\sin(\theta)\right),\;\;r>0\quad alors \;\;|z|=r\;\; et \;\;arg(z)=\theta\;\;[2\pi].
%%\end{minipage}
Ici image 4
\subsection{L’argument du produit est égal à la somme des arguments.}

Soit z de module r et d’argument \theta, z' de module r' et d’argument \theta' deux nombres complexes non nuls.

    \[\boxed{arg(z\times z')=arg(z)+arg(z')}\]

.

\subsection{Formule de Moivre.}
Soit z=r(\cos \theta+i\,\sin \theta)\;\; et n un entier naturel. On a \boxed{z^n=r^n \left( \cos(n\,\theta)+i\,\sin(n\,\theta)\right)}.

Autrement dit
\left\lbrace \begin{array}{lr}\bullet & \left|z^n\right|=|z|^n\\\\\bullet & arg\left( z^n\right) =n\times arg(z)\end{array}\right.

\section{Forme exponentielle d’un nombre complexe}

\begin{itemize}
\item Le nombre complexe de module 1 et dont un argument est \theta est not e^{i\theta}.

\item Si z est un nombre complexe de module r et d’argument \theta on écrit z=r\,e^{i\theta}.
\end{itemize}

Autrement dit \quad \boxed {e^{i\theta}=\cos \theta +i\, \sin \theta}

\subsection{Remarque}
\begin{enumerate}
\item \begin{array}{cccc}e^{i\,0}=1,\quad & e^{i\frac{\pi}{2}}=i,\quad & e^{i\pi}=-1,\quad &e^{i\frac{\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\\\end{array}

\item e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')},\quad \dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}

\item Formule de Moivre :\quad \left(e^{i\theta} \right)^n =e^{i\,n\,\theta}.
\end{enumerate}

\subsection{Formules d’Euler}
\left\lbrace \begin{array}{l}e^{i\theta}=\cos \theta + i\,\sin \theta\\e^{-i\theta}=\cos \theta -i\,\sin \theta\end{array}\right.
donne \quad \boxed{\cos \theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}} \quad et \; \boxed{\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}}
\section{ Racine n-ième d’un nombre complexe}

Si w est un nombre complexe, on appelle racine n-ième de w tout nombre complexe z tel que z^n=w

<ul>
<li>Si w est nul, alors il admet exactement une racine n-ième, lui-même.
<li>Si w est non-nul, il admet exactement n racines n-ièmes distinctes.
Pour les déterminer, on utiliser l’écriture trigonométrique de w : si w=\rho e^{i\theta}, ses racines n-ièmes sont

    \[\rho^{1/n}e^{i\left(\frac\theta{n}+\frac{2k\pi}n\right)},\ 0\leq k\leq n-1.\]


</ul>
\subsection{Racines n-ièmes de l’unité}
On appelle racine n-ième de l’unité
tous les nombres complexes z vérifiant z^n=1.
Ce sont donc les nombres complexes w_0,\dots,w_{n-1}
s’écrivant w_k=\exp\left(\frac{2ik\pi}n\right).
Pour un entier n donné, les images des racines n-ièmes de l’unité sont situées sur le cercle unité du plan complexe et sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés.
Dans la figure ci-dessous, les racines 5-ièmes de l’unité sont les sommets d’un pentagone régulier M_0M_1M_2M_3M_4.

ici image 5