\tableofcontents
Le plan est rapport un repère orthonormal
\section{Forme algébrique d’un nombre complexe}
\subsection{Définitions}
\begin{itemize}
\item L’ensemble des nombres de la forme , où
et
sont des réels et
est tel que
, est appelé ensemble des nombres complexes. On le note
.
Les propriétés des opérations addition et multiplication dans se prolongent dans
.
\item L’écriture est la forme algébrique du nombre complexe
.
est la partie réelle de
,
sa partie imaginaire.
On note .
est une partie de
,
contient les nombres complexes dont la partie imaginaire
est nulle.
\item Tout nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé nombre imaginaire pur.
\end{itemize}
\subsection{Somme, produit et inverse}
Soient et
deux nombres complexes.
\subsection{équation dans }
Soit l’équation . où
et
sont des réels,
non nul,
est le discriminant.
\begin{itemize}
\item Si l’équation admet un unique solution :
.
\item Si l’équation admet deux solutions réelles :
et
.
\item Si l’équation admet deux solutions complexes :
et
.
\end{itemize}
\section{Interprétation géométrique d’un nombre complexe}
\subsection{Définitions}
%%\begin{minipage}{12cm}
Soit M un point de coordonnées .\\
Le nombre complexe est appelé affixe du point M.\\
Le point M est appelé image du nombre complexe .\\
On note M le point d’affixe
.
Remarques
\begin{itemize}
\item Le nombre complexe est aussi l’affixe du vecteur
.
\item Le vecteur est aussi l’image du nombre complexe
.
\item Le plan muni du repère orthonormal direct est appel plan complexe.
\end{itemize}
%\end{minipage}
Ici image bis
\subsection{Somme et opposé}
%\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item Soit M et P deux points d’affixe et
.\\
Le point S défini par a pour affixe
.
\item Le point N défini par a pour affixe
.
\item l’affixe du vecteur est
.
\end{enumerate}
%\end{minipage}
lci image 1
\subsection{Module d’un nombre complexe}
\subsubsection{Définition}
Soit M un point du plan d’affixe . On appelle module du nombre complexe
la distance
. On le note
.
\subsubsection{Propriétés}
Soit et
deux points d’affixes respectives les nombres complexes
et
.
\begin{description}
\item[] Si
alors
\item[]
\item[]
.
\item[]
\item[]
entier naturel.
\item[]
.
\end{description}
\section{Forme trigonométrique d’un nombre complexe}
\subsection{Définition d’un argument d’un nombre complexe}
%%\begin{minipage}{12cm}
Soit M un point d’affixe le nombre complexe non nul.\\
On appelle argument de tous les réels
, mesure en radians de l’angle
.\\ On note
ou
(modulo
).
Autrement dit, un nombre complexe non nul a une infinité d’arguments.\\ Si est l’un d’entre eux, tout autre argument de
s’écrit
\\ On dit aussi qu’un argument de
est défini modulo
.
%\end{minipage}
Ici image 2
\subsection{Remarque}
Le nombre complexe 0 n’a pas d’argument car la définition suppose
.
\subsection{Propriétés}
%%\begin{minipage}{12cm}
\begin{enumerate}
\item Si est un rel strictement positif alors
.
\item Si est un rel strictement négatif alors
.
\item Si est un imaginaire pur non nul alors
.
\item Si alors
\item Si alors
.
\end{enumerate}
%%\end{minipage}
ici image 3
\subsection{Définition de la forme trigonométrique d’un nombre complexe}
%\begin{minipage}{12cm}
Tout nombre complexe non nul, de module
et dont un argument est
, peut s’écrire
\\
Cette écriture est appelé forme trigonométrique du nombre complexe .
\subsection{Formes trigonométrique et algébrique}
Soit un nombre complexe non nul.\\
On a \\avec
et
.
Réciproquement:\\
si alors
et
.
%%\end{minipage}
Ici image 4
\subsection{L’argument du produit est égal à la somme des arguments.}
Soit de module
et d’argument
,
de module
et d’argument
deux nombres complexes non nuls.
\subsection{Formule de Moivre.}
Soit et
un entier naturel. On a
.
Autrement dit
\section{Forme exponentielle d’un nombre complexe}
\begin{itemize}
\item Le nombre complexe de module 1 et dont un argument est est not
.
\item Si est un nombre complexe de module
et d’argument
on écrit
.
\end{itemize}
Autrement dit
\subsection{Remarque}
\begin{enumerate}
\item
\item
\item Formule de Moivre :.
\end{enumerate}
\subsection{Formules d’Euler}
donne et
\section{ Racine n-ième d’un nombre complexe}
Si est un nombre complexe, on appelle racine
-ième de
tout nombre complexe
tel que
<ul>
<li>Si est nul, alors il admet exactement une racine
-ième, lui-même.
<li>Si est non-nul, il admet exactement
racines
-ièmes distinctes.
Pour les déterminer, on utiliser l’écriture trigonométrique de : si
, ses racines
-ièmes sont
</ul>
\subsection{Racines n-ièmes de l’unité}
On appelle racine
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3b95f44899f04c3b1dda766cc6165ce_l3.png)
tous les nombres complexes
![Rendered by QuickLaTeX.com z](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7a454d36f22401803b6231837fb9361_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com z^n=1](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-510fa4b8cc592ee1e7cdb6baaa78c8fc_l3.png)
Ce sont donc les nombres complexes
![Rendered by QuickLaTeX.com w_0,\dots,w_{n-1}](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d263a65a01bd572e058a263910d5f8e_l3.png)
s’écrivant
![Rendered by QuickLaTeX.com w_k=\exp\left(\frac{2ik\pi}n\right).](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd2fcfc29f7d8de8beddf9b6017f1dc0_l3.png)
Pour un entier
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3b95f44899f04c3b1dda766cc6165ce_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3b95f44899f04c3b1dda766cc6165ce_l3.png)
Dans la figure ci-dessous, les racines 5-ièmes de l’unité sont les sommets d’un pentagone régulier
![Rendered by QuickLaTeX.com M_0M_1M_2M_3M_4](https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d756d4014f194dbe0cd68d1af205d8e4_l3.png)
ici image 5