Suites avec Python

Exercice1

On place un capital de 1000€ sur un compte rémunéré à 4% par an. Ecrire un programme Python qui calcule le nombre d’années au bout desquelles le capital sera doublé.

Corrigé de l’exercice 1

Le capital doublera au bout de 18 ans.

Exercice 2

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in \mathbb N$ , $u_n=2\sqrt{n}+2$ . Ecrire un programme langage Python permettant de calculer pour un $n$ donné la valeur de $u_n$ . Afficher les termes $u_0$ à $u_{100}$

Corrigé de l’exercice 2

Exercice 3

Ecrire un programme Python qui calcule les termes de la suite $(u_n)$ définie par l’expression

$u_n=\frac{5n^2-3}{n^2+7}$ . Afficher en particulier les termes $u_{10},~ u_{100}$ et $u_{1000}$

Qu’observe-t-on pour des valeurs de plus en plus grandes de n ?

Corrigé de l’exercice 3

On remarque que pour des valeurs de plus en plus grandes de n, les termes de la suite $u_n$ se rapprochent de 5.

Exercice 4

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=10500$ et pour tout $n \in \mathbb N$ , $u_{n+1}=0,99u_n+150$ .

On admet que la suite $u_n$ est positive et croissante.

Ecrire un programme langage Python qui donne la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $u_n$ dépasse 12000.

Corrigé de l’exercice 4

Le programme affiche la valeur de n=41. Vous pouvez modifier le programme pour afficher la valeur de $u_n$ correspondante en utilisant print(n,u(n) ) à l’extérieur de la boucle while ou bien afficher toutes les valeurs de $u_n$ avec print(n,u(n) ) à l’interieur de la boucle.

Exercice 5

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\frac{n+3}{3n+5}u_n$ .

On admet que cette suite est positive et tend vers 0. Ecrire un programme Python qui affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $0 \leq u_n \leq 10^{-3}$ .

Corrigé de l’exercice 5

Les termes de la suites sont positifs, le programme commence le calcule de ces termes par u=1, et continue tant que $u > 0,001$ et s’arrête lorsque le terme u devient inférieur ou égal à 0,001 et renvoie le rang N correspondant.

Afficher les termes de la suite avec l’instruction :

                    print " n =",n,"u=",u

à l’intérieur de la boucle while pour voir que u diminue jusqu’à devenir $\leq 0,001$ .

Exercice 6

On considère la suite définie par : pour tout entier naturel $n$ , $u_n=400×1,02^n$ .

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout naturel $n$ .
Donner le sens de variation de $(u_n)$ ainsi que sa limite.
Ecrire un programme en Python permettant de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}>600$ . Afficher la valeur de $n_0$

Corrigé de l’exercice 6

Pour tout naturel $n$ : $u_n=400×1,02^n$ .
On reconnaît ici la formule explicite donnant le terme de rang $n$ d’une suite géométrique de raison 1,02 de premier terme $u_0=400$ . Par conséquent, on a la formule de récurence suivante : pour tout naturel $n$ : $u_{n+1}=1,02×u_n$ .
Comme $1,02 > 1$ , alors la suite $(1,02^n)$ est strictement croissante. Et comme $400 > 0$ , la suite $(u_n)$ est également strictement croissante. Par ailleurs: Comme $1,02>1$ , on a: $\lim\limits_{n \to +\infty}(1,02^n)=+\infty$ Or $400>0$ . Donc $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$
Deux algorithmes possibles :

Un premier algorithme qui utilise la formule de récurrence, la variable N contient la valeur $n_0$ cherchée :

Un deuxième algorithme qui utilise la formule explicite :

Exercice 7 $($ 12 minutes $)$ 1,2 points

On considère la suite $($ u_n $)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{u_n+1}$ .

Recopier le script python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel k et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $($ u_n $)$ de $u_0$ à $u_k$ .

Corrigé de l’exercice 7

Avec l’istruction print liste(5) afficher une liste de 6 premiers termes de la suite $(u_n)$ . Vérifier que les termes de $(u_n)$ sont les inverses des entiers naturels non nuls.

Probabilités avec Python

Exercice 8

Une roue de loterie est formée de 10 cases : 2 cases rouges et 8 cases noires. Si on obtient une case rouge, on gagne 5 €, sinon on perd 1 €. X est la variable aléatoire qui donne le gain du joueur.

Déterminer la loi de probabilité de X
Écrire en langage Python :

une fonction Gain qui simule la variable aléatoire X ;
une fonction Moyenne qui calcule et renvoie pour résultat la moyenne d’un échantillon de taille n de X.

c. Tester ces deux fonctions.

Corrigé de l’exercice 8

a. $P(X=5)=\frac{2}{10}=0,2$ et $P(X=-1)=\frac{8}{10}=0,8$

b. Voici les fonctions Gain et Moyenne écrites en langage Python.

c. Test : La fonction Gain() affiche 5 ou -1 et pour la fonction Moyenne on a pris l’exemple d’un échantillon de taille 1000.

Exercice 9

On dispose d’un de équilibré à 6 faces et de deux urnes : l’urne $U_1$ contient deux boules vertes et 3 rouges, et l’urne $U_2$ contient 1 boule verte et deux rouges. On lance le dé et si le résultat est 1 ou 2 alors on tire une boule dans l’urne $U_1$ , sinon on tire dans l’urne $U_2$ . On considère que la partie est gagnante si on tire une boule verte.

Écrire un algorithme en Python permettant de simuler cette partie.
Modifier cet algorithme pour qu’il simule n parties et compte le nombre de parties gagnantes.

Corrigé de l’exercice 9

Voici un programme Python pour simuler une partie

2.Voici un programme Python pour simuler n parties

b. On trouve l’année 2030

Exercice 10

Une puce se déplace sur une droite graduée (en cm). Au départ, elle est au point d’abscisse 0. À chaque seconde, la puce peut faire un saut de 1 cm en avançant vers la droite ou faire un saut de 1 cm en reculant vers la gauche avec la même probabilité.

On observe la puce pendant 1 minute. On s’intéresse à la probabilité de revenir à l’origine du repère au bout d’une minute soit 60 sauts.
Ecrire un programme Python. avec :

une fonction saut(n) qui retourne l’abscisse du point d’arrivée à l’issue de la marche de n sauts.
Ensuite une fonction cible(x,n) qui retournera la fréquence de fois où l’on est arrivé à l’origine à la fin de la marche sur les n sauts effectués.

Corrigé 10

Remarquer que ces fréquences fluctuent autour de 0,1.

Fonctions avec Python

Exercice 11

Un groupe de scientifiques étudie le nombre de poissons qui vivent dans un étang. Après plusieurs études de terrain, ils modélisent ce nombre par la fonction $P$ , définie sur $\left[0 ;+\infty\right.$ [ par $P(t)=\frac{1000}{0,4+3,6 \mathrm{e}^{-0.5 t}}$ , où $t$ est le temps, mesuré en année, écoulé depuis le $1^{\text {er }}$ janvier $2022 .$ \
On note $\mathscr{C}_{P}$ la courbe représentative de la fonction $P$ dans un repère.

Combien y avait-il de poissons au $1^{\text {er }}$ janvier 2022 ?
Calculer $P^{\prime}(t)$ pour tout réel $t$ positif. En déduire le sens de variation de la fonction $P$ sur $[0 ;+\infty[$ .
Déterminer la limite de $P$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ . Interpréter graphiquement cette limite.
Interpréter dans le contexte de l’exercice la limite trouvée à la question $3 .$
Justifier que le nombre de poissons va dépasser 2000 individus lors d’une certaine année.
1. Compléter la fonction Python ci-dessous afin qu’elle renvoie l’année à partir de laquelle le nombre de poissons va dépasser 2000 individus.
2. Quelle année trouve-t-on?