Dérivée d'une fonction composée – Spécialité mathématiquesSpécialité mathématiques

Dérivée d’une fonction composée

Le questionnaire à choix multiples sur la dérivée d’une fonction composée, ci-dessous, est réalisé grâce au module « Multiple Choice » est disponible dans H5P.

Rappel de cours

Théorème :Si la fonction $u$ est dérivable sur l’intervalle $I$ et la fonction $v$ est dérivable sur l’intervalle $f(I)$
alors la fonction composée $f= v \circ u$ est dérivable sur $I$ et : $f'=(v \circ u)'=(v' \circ u)\times u'$ .

Exemple 1:

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f:x\mapsto (5x^2+2)^{2022}$ . Dériver $f$ .

On considère les deux fonctions:
$u:x\mapsto 5x^2+2$ ;
$v:x\mapsto x^{2022}$ .

On a bien $f=v\circ u$ .

$u$ est définie et dérivable sur $I=\mathbb R$ et, pour tout $x \in \mathbb R$ , $u'(x)=10x$ .
$v$ est définie et dérivable sur $\mathbb R$ et $u(I) \subset \mathbb R$ et, pour tout $X \in \mathbb R$ , $v'(X)=2022X^{2021}$ .
On applique la formule du théorème :
Pour tout $x \in \mathbb R$ :

$\begin{aligned}u'(x)&=( v' \circ u)(x) \times u'(x)=v'((u(x))\times u'(x)\\&= 2022 (5x^2+2)^{2021} \times 10x \end{aligned}$

Pour tout $x\in\mathbb R$ , $f'(x)=20220 x(5x^2+2)^{2021}$ .

Exemple 2:

Soit $u$ une fonction définie sur $\mathbb R$ et $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f:x\mapsto e^{u(x)}$ . Dériver $f$ .

On considère la fonctions: $v:x\mapsto e^x$ . On a bien $f=v\circ u$ .

$v$ est définie et dérivable sur $\mathbb R$ et $u(I) \subset \mathbb R$ et, pour tout $X \in \mathbb R$ , $v'(X)=e^X$ .
On applique la formule du théorème :
Pour tout $x \in \mathbb R$ :