Somme de variables aléatoires

• La 1ère partie consiste à lancer une pièce de monnaie. Si on tombe sur « pile », on
  gagne 3 €, si on tombe sur « face », on gagne 4 €.



• La 2e partie consiste à lancer un dé virtuel à 3 faces. Si on tombe sur « 1 », on
  gagne 1 €, si on tombe sur le « 2 » on gagne 2€ et si on tombe sur le « 3 », on perd 5 €

On lance deux tétraèdres réguliers numérotés de 1 à 4.

On appelle X la variable aléatoire donnant le résultat du premier dé et Y la variable aléatoire donnant le résultat du deuxième dé.
Considérons Z la variable aléatoire donnant la somme des deux résultats obtenus: Z=X+Y.

1. Déterminer la loi de probabilité de Z.


2. Déterminer les espérances $E(X)$, $E(Y)$ et $E(Z)$. Comparer $E(X)+E(Y)$ à $E(Z)$.


3. Déterminer les variances $V(X)$, $V(Y)$ et $V(Z)$. Comparer $V(X)+V(Y)$ à $V(Z)$.

1. 
   $Z(\Omega)=\{2;3;4;5;6;7;8\}$
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   \large X \large\setminus{ Y} & 1& 2& 3 & 4 \\ \hline
   1 & (2) & ( 3 )&( 4 )&( 5)\\ \hline
   2 & (3 ) &(4 )&( 5 )&( 6 ) \\ \hline
   3 & (4 ) &( 5 )&(6)& (7 )\\ \hline
   4 & (5 ) &( 6 )&( 7)& (8 ) \\ \hline
   
   \end{array}$$
   
   
   Les 16 événements étant équiprobables, on obtient:
   $$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   z & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
   P(Z=z) & \frac{1}{16} & \frac{2}{16} & \frac{3}{16} & \frac{4}{16} & \frac{3}{16} & \frac{2}{16} & \frac{1}{16} \\
   \hline
   
   
   \end{array}$$
   
   
   
2. $E(X)=E(Y)=\frac{1}{4}\times 1+\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 4=\frac{5}{2}$



On obtient: $E(Z)=\frac{1}{16}\times 2+\frac{2}{16}\times 3+\frac{3}{16}\times 4+\frac{4}{16}\times 5+\frac{3}{16}\times 6+{2}{16}\times 7+\frac{1}{16}\times 8=5$


on a l'égalité : $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.

3. On a $$V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$$
   Soit: $V(X)=\frac{1}{4}\times 1^2+\frac{1}{4}\times 2^2+\frac{1}{4}\times 3^2+\frac{1}{4}\times 4^2-\left(\frac{5}{2} \right)^2=\frac{5}{4}$
   de même $V(Y)=V(X)=\frac{5}{4}$.
   $\begin{align*}V(Z) &=\frac{1}{16}\times 2^2+\frac{2}{16}\times 3^2+\frac{3}{16}\times 4^2+{4}{16}\times 5^2+\frac{3}{16}\times 6^2+\frac{2}{16}\times 7^2+\frac{1}{16}\times 8^2-5^2\\
   &=\frac{55}{2}-25=\frac{5}{2}\end{align*}$
   On a $V(X)+V(Y)=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{5}{2}$ donc $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$

On lance deux dés à 6 faces.

Soit X la variable aléatoire donnant la somme des deux résultats obtenus, et Y la variable aléatoire donnant la valeur absolue de la différence des deux résultats.

1. Déterminer les lois de probabilité de X, de 2X, de Y et de Z=2X+Y.


2. Déterminer les espérances $E(X)$, $E(2X)$, $E(Y)$ et $E(Z)$.


3. Déterminer les variances $V(X)$, $V(2X)$, $V(Y)$ et $V(Z)$.


4. Comparer $V(2X)+V(Y)$ à $V(2X+Y)$.
   
5. 
   
   Les variables $2X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si, pour tous $x$ et $y$, $P\left(2X=2x \quad \color{blue}{ET} \quad Y=y \right)=P(2X=2x)\times P(Y=y)$
   
   Donc, s'il existe $x$ et $y$ tel que $P\left(2X=2x \quad \color{blue}{ET} \quad Y=y \right) \neq P(2X=2x)\times P(Y=y)$, alors les variables $2X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.
   
   Les variables $2X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?