Probabilités première

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Cours PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE

proba-cond

Exercice 1 $($ Événements indépendants $)$

Dans chacun des cas $A$ et $B$ sont des événements indépendants d’un univers $\Omega$ . Déterminer $p(A\cap B)$ .

$p(A)=0,5$ et $p(B)=0,2$
$p(A)=0,5$ et $p(B)=0,6$
$p(A)=0,9$ et $p(B)=0,4$

Corrigé de l’exercice 1

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants. Donc $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ . $p(A)=0,5$ et $p(B)=0,2$ Donc :
$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-111190201555a85dea3708e28e36b592_l3.png" height="71" width="188" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\ &=0,5\times 0,2\\ &=0,1\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$
$p(A)=0,5$ et $p(B)=0,6$ Donc :
$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62de4b6c10ffd5a47d17b0df26e660ca_l3.png" height="71" width="188" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\ &=0,5\times 0,6\\ &=0,3\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$
$p(A)=0,9$ et $p(B)=0,4$ Donc :
$ <img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88a52ca28f2f19a0b4ab272afefe1126_l3.png" height="71" width="188" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\ &=0,9\times 0,4\\ &=0,36\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$

Exercice 2 $($ Probabilité conditionnelle $)$

Dans un groupe d’enfants, si l’on choisit un au hasard, la probabilité qu’il aime les oranges est de 0,6, la probabilité qu’il aime les oranges ET les bananes est de 0,3.
Si un enfant qui aime les oranges est choisi au hasard, quelle est la probabilité qu’il aime aussi les bananes ?

Corrigé de l’exercice 2

On note :

L’événement O : « l’enfant aime les oranges »;
L’événement B : « l’enfant aime les bananes ».

$P(O) = 0,6$

$P(B \cap O) = 0,3$

$P_O(B)$

$P_O(B) = \dfrac{P(B \cap O)}{P(O)} = \dfrac{0.3}{0.6} = 0.5$

Exercice 3 $($ Probabilité conditionnelle $)$

Les résultats d’un sondage auprès d’un groupe de 100 personnes ayant des assurances auprès d’une certaine compagnie sont les suivants : 40 % ont à la fois des assurances habitation et voiture auprès de la compagnie. La probabilité qu’une personne tirée au sort dans ce groupe ait une assurance voiture est de 0,7. Quelle est la probabilité qu’une personne tirée au sort ait une assurance habitation sachant qu’elle a une assurance voiture ?

Corrigé de l’exercice 3

Notons :

H l’événement : « personnes ayant une assurance habitation »,
V l’événement V : « personnes ayant une assurance voiture ».

D’après l’énoncé $P(V) = 0,8$ et $P(H \cap V)$ = 0,5. On nous cherche de la probabilité conditionnelle $P_V(H)$ qu’une personne tirée au sort ait une assurance habitation $(H)$ sachant que cette personne a une assurance voiture $(V)$ . Ainsi $P_V(H) = \dfrac{P(H \cap V)}{P(V)} = 0,5 / 0,8 = 0,625$

Exercice 4 $($ Probabilité conditionnelle $)$

Les résultats d’une enquête menée auprès d’un groupe de 100 personnes ayant acheté un téléphone mobile ou une tablette de l’une des deux marques A et B sont présentés dans le tableau ci-dessous.

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{ Mobile } & \text{Tablette} & \text{Total} \\\\ \hline \text{A} &20 & 10 & 30\\\\ \hline \text{B} & 30 & 40 & 70\\\\ \hline \text{Total} & 50 & 50 & 100 \\\\ \hline \end{array}$

Si une personne est choisie au hasard dans le groupe, quelle est la probabilité qu’elle

a acheté la marque B ?
a acheté un téléphone mobile de la marque B ?
a acheté un téléphone mobile sachant qu’elle a acheté la marque B ?

Corrigé de l’exercice 4

Notons:

L’événement M: « Achat d’un téléphone mobile »
L’événement T : « Achat d’une tablette »
L’événement A : « Achat de la marque A »
L’événement B : « Achat de la marque B »

70 personnes sur un total de 100 ont acheté la marque B ; Par conséquent
$P(B) = 70/100 = 0,7$
Au total, 30 personnes sur 100 ont acheté un mobile de la marque B
$P(M \cap B) = 30/100 = 0,3$
$P_B(M) = \dfrac{P(M \cap B)}{P(B)} = 0,3/0,7 = 3/7$
La probabilité conditionnelle $P_B(M)$ peut également être trouvée en restreignant l’univers à la marque B. Il y a 30 téléphones mobiles sur un total de 70 de marque B ; Par conséquent
$P_B(M) = \dfrac{30}{70} = 3/7$

Exercice 5 $($ Événements indépendants $)$

Dans chacun des cas déterminer si les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes.
$A$ est l’événement « la carte tirée est un roi » et $B$ est l’événement « la carte tirée est un trèfle ».
On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes.
$A$ est l’événement « la carte tirée est rouge » et $B$ est l’événement « la carte tirée est un cœur ».
On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ .
$A$ est l’événement « le nombre obtenu est pair » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est un multiple de $3$ ».
On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ .
$A$ est l’événement « le nombre obtenu est inférieur ou égal à $3$ » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est un multiple de $3$ ».
On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ .
$A$ est l’événement « le nombre obtenu est pair » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est inférieur ou égal à $3$ ». Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants?

Corrigé de l’exercice 5

Il y a $4$ rois dans un jeu de $32$ cartes. Donc $p(A)=\dfrac{4}{32}$ soit $p(A)=\dfrac{1}{8}$ . Un quart des cartes sont des trèfle. Donc $p(B)=\dfrac{1}{4}$ . Il n’y a qu’un seul roi de trèfle dans le jeu. Par conséquent $p(A\cap B)=\dfrac{1}{32}$ . Ainsi:
$p(A)\times p(B)=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{4} =\dfrac{1}{32}=p(A\cap B)$
Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

$p(A)=0,5$

$p(B)=0,25$

$p(A\cap B)=p(B)=0,25$

$p(A)\times p(B)=0,5\times 0,25=0,125 \neq p(A\cap B)$

$A$

$B$

$3$ nombres sont pairs. Donc $p(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ . Seuls $3$ et $6$ sont des multiples de $3$ . Donc :
$p(B)=\dfrac{2}{6} =\dfrac{1}{3}$
Le seul nombre pair qui soit un multiple de $3$ est $6$ . Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$ . Ainsi:
$p(A)\times p(B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6} =p(A\cap B)$
Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
Les nombres inférieurs ou égaux à $3$ sont $1$ , $2$ et $3$ . Donc :
$p(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
Seuls $3$ et $6$ sont des multiples de $3$ . Donc :
$p(B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
Le seul nombre inférieur ou égal à $3$ qui soit également un multiple de $3$ est $3$ . Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$ . Ainsi:
$p(A)\times p(B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6} =p(A\cap B)$
Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
$3$ nombres sont pairs. Donc
$p(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
Les nombres inférieurs ou égaux à $3$ sont $1$ , $2$ et $3$ . Donc :
$p(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
Le seul nombre pair inférieur ou égal à $3$ est $2$ . Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$ .
$p(A)\times p(B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} \neq p(A\cap B)$
Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.

Exercice 6 $($ Diagramme de Carroll $)$

Une maladie atteint $4\%$ d’une population de $30~000$ individus.
On appelle “malade” l’individu atteint de cette maladie et “bien portant” celui qui ne l’est pas.
On dispose d’un test pour la détecter.
Ce test donne les résultats suivants :

Chez les individus malades, $94\%$ des tests sont positifs.
Chez les individus bien portants, $2\%$ des tests sont positifs.

On note les événements suivants :

$M$ : “être malade”
$T$ “avoir un test positif”

On rencontre une personne au hasard de cette population.

Calculer $p(T)$ , $p(T \cap M)$ et $p(M \cup T)$ .
$\quad$
Sachant que la personne rencontrée est malade, calculer la probabilité que son test soit négatif.
$\quad$
Sachant que la personne rencontrée a un test positif, calculer la probabilité qu’elle ne soit pas malade.
$\quad$

Corrigé de l’exercice 6

$4\%$ des $30~0000$ correspondent à $0,04\times 30~0000=1~200$ personnes malades.
$94\%$ de $1~200$ correspond à $1~128$ malades ayant un test positif.
$2\%$ de $28~800$ correspond à $576$ bien portants ayant un test positif.
On peut ainsi construire le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Malades} & \text{Bien portants} & \text{Total} \\\\ \hline \text{Test positif} & 1~128 & 576 & 1~704 \\\\ \hline \text{Test négatif} & 72 & 28~204 & 28~296 \\\\ \hline \text{Total} & 1~200 & 28~800 & 30~000 \\\\ \hline \end{array}$

$\quad$
Ainsi $p(T) = \dfrac{1~704}{30~000} = 0,0568$
$p(T \cap M) = \dfrac{1~128}{30~000} = 0,0375$
$p(T \cup L) = p(T) + p(M) - p(T \cap M) = \dfrac{1~776}{30~000}=0,0592$
$\quad$
La probabilité cherchée est $p = \dfrac{72}{1~200} = 0,06$
$\quad$
La probabilité cherchée est $p' = \dfrac{576}{1704} = \dfrac{24}{71}\approx{0,3380.}$

Le tableau ci-dessus s’appelle diagramme de Carroll [Lewis Carroll, mathématicien et écrivain britannique (1832-1898) qui a écrit le livre Alice au pays des merveilles]

c’est un tableau à double entrée dans lequel les éléments (ou effectifs, ou fréquences) d’un ensemble sont classés selon deux critères (l’un en ligne, l’autre en colonne) de façon à mettre en évidence les sous-ensembles qui constituent ces critères. Chaque région du diagramme contient alors les éléments qui ont les caractéristiques communes à la ligne et la colonne dont elle est l’intersection.

Exercice 7 $($ Arbre de probabilité pondéré $)$

Une urne contient 3 boules bleues . et 4 boules rouges. On tire au hasard et avec remise une boule de l’urne deux fois de suite. On note B l’évènement « obtenir une boule bleue » et R l’évènement « obtenir une boule rouge ».

Compléter l’arbre suivant :
Déterminer la probabilité d’obtenir :

2 boules rouges
1 boule bleue et 1 boule rouge.

Corrigé de l’exercice 7

D’après l’arbre pondéré, il y a un seul chemin qui réalise l’évènement « obtenir 2 boules rouges » c’est le chemin $(\color{red}{RR})$
$P("~obtenir ~2~ boules~ \color{red}{rouges"})=\color{red}{\frac{4}{7}}\times\color{red}{ \frac{4}{7}}= \frac{16}{49}$
Il y a deux chemins qui réalisent l’évènement » obtenir 1 boule bleue et 1 boule rouge » ce sont les chemins $(\color{blue}{B}\color{red}{R})$ et $(\color{red}{R}\color{blue}{B})$ . $P("~obtenir ~1~ boule~\color{blue}{ bleue~}et ~1~boule~\color{red}{rouge} ")=\color{blue}{\frac{3}{7}}\times \color{red}{\frac{4}{7}}+\color{red}{\frac{4}{7}}\times \color{blue}{ \frac{3}{7}}=\frac{24}{49}$ .

Exercice 8 $($ Arbre de probabilité pondéré $)$

Dans la salle des profs 60% sont des femmes; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle est la probabilité pour qu’un porteur de lunettes pris au hasard soit une femme ?
1) Commencer par compléter l’arbre pondéré suivant, où on a noté les différents événements : F : «être femme», L : «porter des lunettes», H : «être homme».

2) Répondre à la question

Corrigé de l’exercice 8

$P(F)= 0,6$ donc $P(H)= 0,4$ et la probabilité conditionnelle : probabilité de «porter des lunettes» sachant que la personne est une femme est $P_F(L) = \frac{1}{3}$ . La probabilité conditionnelle: probabilité de «porter des lunettes» sachant que la personne est un homme est $P_H(L) = 0,5$ . On peut donc compléter l’arbre pondéré.
On cherche la probabilité conditionnelle . On a : .
- D’une part : $P(F \cap L)=P(F)\times P_F(L)=0,6\times \frac{1}{3}=0,2$ .
- Et d’autre part, d’après la formule des probabilités totales on a : $P(L) = P(F \cap L)+P(H \cap L)=P(F)\times P_F(L)+P(H)\times P_H(L)=\\ =0,6 \times \frac{1}{3}+0,4 \times 0,5=0,4$