Trigonométrie première – Spécialité mathématiquesSpécialité mathématiques

Cours TRIGONOMÉTRIE

Exercice 1

La mesure principale d’un angle orienté est la mesure de cet angle appartenant à l’intervalle $]-\pi;\pi]$ .
Exemple: L’angle orienté $\left(\vec{j},\vec{i}\right)$ a plusieurs mesures: $\dfrac{3\pi}{2}$ , $-\dfrac{\pi}{2}$ , $\dfrac{3\pi}{2}+2\pi=\dfrac{7\pi}{2}$ , $\cdots$
Sa mesure principale est $-\dfrac{\pi}{2}$ .
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants:

$\dfrac{7\pi}{3}$
$-\dfrac{11\pi}{6}$
$\dfrac{9\pi}{8}$
$\dfrac{15\pi}{2}$
$\dfrac{26\pi}{4}$
$-\dfrac{13\pi}{5}$

Corrigé de l’exercice 2

$\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{6\pi+\pi}{3}=2\pi +\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{-11\pi}{6}=\dfrac{-12\pi+\pi}{3}=-2\pi +\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{9\pi}{8}=\dfrac{9\pi+7\pi-7\pi\pi}{8}=\dfrac{16\pi-7\pi\pi}{8}=2\pi -\dfrac{7\pi}{8}$
$\dfrac{15\pi}{2}=\dfrac{16\pi-\pi}{2}=2\pi -\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{26\pi}{4}=\dfrac{24\pi+2\pi}{4}=4\pi +\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{-13\pi}{5}=\dfrac{-10\pi-3\pi}{5}=-2\pi -\dfrac{3\pi}{5}$

Exercice 2

On souhaite résoudre l’équation suivante dans $\mathbb R$ :

$4\cos^2 x-2\left(1+\sqrt{3}\right)\cos x+\sqrt{3}=0\quad (1)$

On effectue un changement de variable en posant $X=\cos x$ avec $X\in[-1;1]$ .
a. Quelle équation du second degré est équivalent à l’équation $(1)$ ?
$\quad$
b. Montrer que son discriminant peut s’écrire $4\left(1-\sqrt{3}\right)^2$ .
$\quad$
c. Déterminer les solutions de cette équation du second degré.
$\quad$
En déduire les solutions de l’équation $(1)$ dans $]-\pi;\pi[$ puis dans $\mathbb R$ .
$\quad$

Corrigé de l’exercice 2

a. On pose $X=\cos x$ alors l’équation $(1)$ est équivalente à
$\begin{cases} X\in[-1;1] \\ 4X^2-2\left(1+\sqrt{3}\right)X+\sqrt{3}=0\end{cases}$

$\quad$
b. Le discriminant de l’équation du second degré est :

$<span class="ql-right-eqno"> </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="https://spe-maths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00aadbcdf645afc726a834e6d58437ba_l3.png" height="203" width="217" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*} \Delta &= 4\left(1+\sqrt{3}\right)^2-16\sqrt{3} \\ &=4\left(\left(1+\sqrt{3}\right)^2-4\sqrt{3}\right) \\ &=4\left(1+3+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}\right) \\ &=4\left(1+3-2\sqrt{3}\right)\\ &=4\left(1-\sqrt{3}\right)^2 \end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$

$\quad$
c. $\Delta>0$
$\sqrt{\Delta}=\sqrt{4\left(1-\sqrt{3}\right)^2}=2\left|1-\sqrt{3}\right|=2\left(\sqrt{3}-1\right)$
Il y a donc deux solutions réelles :
$X_1=\dfrac{2\left(1+\sqrt{3}\right)-2\left(\sqrt{3}-1\right)}{8}= \dfrac{1}{2}$
Et $X_2=\dfrac{2\left(1+\sqrt{3}\right)+2\left(\sqrt{3}-1\right)}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\quad$
On cherche donc les solutions dans $]\pi;\pi]$ des équations $\cos x=\dfrac{1}{2}$ et $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
Les solutions sont donc $-\dfrac{\pi}{3}$ , $-\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ .
$\quad$
Sur $\mathbb R$ , les solutions sont les nombres $-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ , $-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ , $\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ et $\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ avec $k\in \mathbb R$ .