Integrales specialite – Spécialité mathématiquesSpécialité mathématiques

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=3+\dfrac{2}{x}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité $1$ cm.
Calculer l’aire sous la courbe $\mathscr{C}_f$ sur l’intervalle $[1;4]$ .

Corrigé

La fonction est $f$ est continue sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle et pour tout $x\in ]0;+\infty[, ~~3+\dfrac{2}{x} > 0$ , $f$ est positive sur $[1;4]$ .
Ainsi l’aire sous la courbe $C_f$ sur l’intervalle $[1;4]$ est :
$\mathscr{A}&=\displaystyle \int_1^4 f(x)dx \\&=\Big[3x+2\ln(x)\Big]_1^4 \\&=12+2\ln(4)-\left(3+2\ln(1)\right) \\&=12+2\ln(4)-3\\&=9+2\ln(4)\text{ u.a.}$
Or $1\text{ u.a}=1\times 1$ cm $^2$
Donc :
$\mathscr{A}=9+2\ln(4)\text{ cm}^2$

Exercice 2

Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $F(x)=xe^{x^2}+5$ .
Calculer $\displaystyle \int_{-3}^3 F'(x)dx$ .

Corrigé

On a :
$\displaystyle \int_{-3}^3 F'(x)dx&= F(3)-F(-3) \\ &=3e^9+5-\left(-3e^{9}+5\right) \\ &=6e^9$

Exercice 3

Calculer La valeur moyenne sur $[-2;1]$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2$ .

Corrigé

La valeur moyenne d’une fonction $f$ sur $[a;b]$ est donnée par la formule

$m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle \int_{a}^b f(x)dx$

Donc la valeur moyenne cherchée est :
$m&=\dfrac{1}{1-(-2)}\displaystyle \int_{-2}^1 3x^2dx \\ &=\dfrac{1}{3}\Big[x^3\Big]_{-2}^1 \\ &=\dfrac{1^3-(-2)^3}{3} \\ &=\dfrac{1+8}{3} \\ &=3$

Exercice4

Soient $f$ et $g$ les fonction définies sur $\mathbb R$ par : $f(x)=x^2+8x-5$ et $g(x)=-x^2+2x+15$ .
Calculer l’aire du domaine situé entre $C_f$ et $C_g$ sur $[-4;1]$

Corrigé

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[-4;1]$ donc $f-g$ et $g-f$ le sont aussi.
Il faut déterminer le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[-4;1]$ .
Pour tout réel $x$ on a :
$f(x)-g(x)&=x^2+8x-5-\left(-x^2+2x+15\right) \\ &=x^2+8x-5+x^2-2x-15\\ &=2x^2+6x-20 \\ &=2\left(x^2+3x-10\right)\\ &=2(x+5)(x-2)$
$f(x)-g(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=2>0$ et les racines sont $-5$ et $2$ .
Or $[-4;1]\subset [-5;2]$ ,donc $f(x)-g(x)\leq 0$ sur $[-4;1]$ .
Ainsi l’aire du domaine situé entre $C_f$ et $C_g$ sur $[-4;1]$ est :
$\mathscr{A}&=\displaystyle \int_{-4}^1 \left(g(x)-f(x)\right)dx \\ &=\int_{-4}^1\left(-2x^2-6x+20\right) dx \\ &=\left[-\dfrac{2}{3}x^3-3x^2+20x\right]_{-4}^1\\ &=-\dfrac{2}{3}-3+20-\left(\dfrac{128}{3}-48-80\right) \\ &=\dfrac{49}{3}+\dfrac{256}{3}\\ &=\dfrac{105}{3}$

Exercice 5

Exercice 6

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ telle que :

$f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}$

On admet que la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[0~;~ + \infty[$ . Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \int_0^n f(x)\:\text{d}x$ . On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_n$ en fonction de $n$ .

Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est croissante.
On admet que pour tout réel de l’intervalle ,: .
- Montrer que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant \int_0^n 2x \text{e}^{- x}\:\text{d}x$ .
- Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0~;~+ \infty[$ telle que :
  $H(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}$
  Déterminer la fonction dérivée $H'$ de la fonction $H$ .
- En déduire que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant 2$ .
- Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Corrigé de l’exercice 6

$I_{n} = \int_0^n f(x) \, dx$ donc, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ ,

$I_{n+1} - I_{n} = \int_0^{n+1} f(x) \, dx - \int_0^n f(x) \, dx = \int_0^{n+1} f(x) \, dx + \int_n^0 f(x) \, dx = \int_n^{n+1} f(x) \, dx$

La fonction $f$ est positive sur $[0,+\infty[$ donc sur $[n, n+1[$ ; on peut en déduire que $\int_n^{n+1} f(x) \, dx \ge 0$ et donc que $I_{n+1}-I_n \ge 0$ pour tout $n$ .

La suite $(I_n)$ est donc croissante.
- Sur $[0, + \infty[$ , on sait que $e^x - x \geq \frac{e^x}{2}$ ; de plus, pour tout $x$ , $e^x-x > 0$ . Donc $\frac{1}{e^x-x} \leq \frac{2}{e^x}$ .
  
  On multiplie cette inégalité par $x \geq 0$ donc: $\frac{x}{e^x-x} \leq \frac{2x}{e^x}$ .
  
  D’après la croissance de l’intégration: $\int_0^n \frac{x}{e^x-x} \, dx \leq \int_0^n \frac{2x}{e^x} \, dx$ .
  
  Ce qui équivaut à $I_n \leq \int_0^n 2x e^{-x} \, dx$ .
- La fonction $H$ est dérivable sur $[0, + \infty[$ comme produit de fonctions dérivables et
  
  $H'(x)=-1 \times e^{-x} + (-x-1)(-1)e^{-x} = -e^{-x} + x e^{-x} + e^{-x} = x e^{-x}$ .
- On déduit de la question précédente que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $x \mapsto x e^{-x}$ .
  
  Donc $\int_0^n x e^{-x} \, dx = [(-x-1)e^{-x}]_0^n = (-n-1)e^{-n} - [(-1)e^{0}] = 1 - (n+1)e^{-n}$ .
  
  Pour tout $x$ , $e^{x} > 0$ on a alors $(n+1)e^{-n} > 0$ ce qui implique $1 - (n+1)e^{-n} \leq 1$ .
  
  Donc $\int_0^n x e^{-x} \, dx \leq 1$ , en multipliant par 2 on obtient $\int_0^n 2x e^{-x} \, dx \leq 2$ , finalement $I_n \leq \int_0^n 2x e^{-x} \, dx \leq 2$ .
- La suite $(I_n)$ est croissante et majorée par 2 donc, d’après le théorème de la convergence monotone, la suite $(I_n)$ est convergente.

Exercice 7

7-2

Corrigé de l’exercice 7

Exercice 8

88-e