Séries entières

Séries entières d’une variable réelle ou complexe.

I-Séries entières d’une variable complexe

Définition 1. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme \sum\limits_{n\in \mathbb N }a_nz^n où z \in \mathbb C et (a_n)_{n \in \mathbb N } une suite de nombres complexes .

Définition 2. : R = sup \left\{r \in \mathbb R \quad \vert \quad (a_n)_{n \in \mathbb N } ~~\text{soit bornée} \right\} \in \mathbb R^⁺\cup \{+\infty \} est appelé rayon de convergence de la série \sum\limits_{n\in \mathbb N }a_nz^n .

Proposition 1. On considère \sum\limits_{n\in \mathbb N}a_nz^n une série entière de rayon de convergence R. Soit z un élément de \mathbb C.
  • Si \vert z \vert < R alors la série \sum\limits_{n\in \mathbb N }a_nz^n est absolument convergente,
  • si \vert z \vert > R alors la série \sum\limits_{n\in \mathbb N }a_nz^n est divergente.

Détermination pratique du rayon de convergence.

Soit \sum\limits_{n\in \mathbb N }a_nz^n une série entière de rayon de convergence R.
  • Règle de D’Alembert : Si \lim\limits_{n \to +\infty} \vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\vert = \ell \in \mathbb R^⁺\cup \{+\infty \} alors R=\frac{1}{\ell}.
    Règle de de Cauchy Si \lim\limits_{n \to +\infty} \vert a_n \vert^{\frac{1}{n}} = \ell \in \mathbb R^⁺\cup \{+\infty \} alors R=\frac{1}{\ell}.
  • Règle d’Hadamard: Si \limsup{\vert {a_n \vert}^{\frac{1}{n}} } = \ell \in \mathbb R^⁺\cup \{+\infty \} alors R=\frac{1}{\ell}.

Propriétés de la somme d’une série entière

On désigne par D(0,R)=\{ z \in \mathbb C, ~ \vert z \vert < R \} Le disque ouvert de \mathbb C centré en 0 et de rayon R. \overline{D(0,R)}=\{ z \in \mathbb C, ~ \vert z \vert \leq R \} Le disque fermé de \mathbb C centré en 0 et de rayon R.
Q_series_ent

Q_series_ent_C

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